Zgjidh {l}{-5x+y=-12}{5y=10x-15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 5 x + y = - 12 } \\ { 5 y = 10 x - 15 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=3$$

$$y=3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 10x nga të dyja anët.

$$5y-10x=-15$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$-5x+y=-12$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-5x=-y-12$$

Pjesëto të dyja anët me -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-y-12\right)$$

Shumëzo -\frac{1}{5} herë -y-12.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}$$

Zëvendëso x me \frac{12+y}{5} në ekuacionin tjetër, -10x+5y=-15.

$$-10\left(\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}\right)+5y=-15$$

Shumëzo -10 herë \frac{12+y}{5}.

$$-2y-24+5y=-15$$

Mblidh -2y me 5y.

$$3y-24=-15$$

Mblidh 24 në të dyja anët e ekuacionit.

$$3y=9$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$y=3$$

Zëvendëso y me 3 në x=\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{1}{5}\times 3+\frac{12}{5}$$

Shumëzo \frac{1}{5} herë 3.

$$x=\frac{3+12}{5}$$

Mblidh \frac{12}{5} me \frac{3}{5} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=3,y=3$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 10x nga të dyja anët.

$$5y-10x=-15$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-5\times 5-\left(-10\right)}&-\frac{1}{-5\times 5-\left(-10\right)}\\-\frac{-10}{-5\times 5-\left(-10\right)}&-\frac{5}{-5\times 5-\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{15}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-12\right)+\frac{1}{15}\left(-15\right)\\-\frac{2}{3}\left(-12\right)+\frac{1}{3}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=3,y=3$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 10x nga të dyja anët.

$$5y-10x=-15$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

Për ta bërë -5x të barabartë me -10x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -10 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me -5.

$$-10\left(-5\right)x-10y=-10\left(-12\right),-5\left(-10\right)x-5\times 5y=-5\left(-15\right)$$

Thjeshto.

$$50x-10y=120,50x-25y=75$$

Zbrit 50x-25y=75 nga 50x-10y=120 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$50x-50x-10y+25y=120-75$$

Mblidh 50x me -50x. Shprehjet 50x dhe -50x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-10y+25y=120-75$$

Mblidh -10y me 25y.

$$15y=120-75$$

Mblidh 120 me -75.

$$15y=45$$

Pjesëto të dyja anët me 15.

$$y=3$$

Zëvendëso y me 3 në -10x+5y=-15. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-10x+5\times 3=-15$$

Shumëzo 5 herë 3.

$$-10x+15=-15$$

Zbrit 15 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-10x=-30$$

Pjesëto të dyja anët me -10.

$$x=3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=3,y=3$$