Zgjidh {l}{-3a=4a+2b-3}{-b/2a=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 a = 4 a + 2 b - 3 } \\ { - \frac { b } { 2 a } = 1 } \end{array} \right.$$

Gjej a, b

$$a=1$$

$$b=-2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 4a nga të dyja anët.

$$-3a-4a=2b-3$$

Kombino -3a dhe -4a për të marrë -7a.

$$-7a=2b-3$$

Pjesëto të dyja anët me -7.

$$a=-\frac{1}{7}\left(2b-3\right)$$

Shumëzo -\frac{1}{7} herë 2b-3.

$$a=-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}$$

Zëvendëso a me \frac{-2b+3}{7} në ekuacionin tjetër, -2a-b=0.

$$-2\left(-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}\right)-b=0$$

Shumëzo -2 herë \frac{-2b+3}{7}.

$$\frac{4}{7}b-\frac{6}{7}-b=0$$

Mblidh \frac{4b}{7} me -b.

$$-\frac{3}{7}b-\frac{6}{7}=0$$

Mblidh \frac{6}{7} në të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{3}{7}b=\frac{6}{7}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{3}{7}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$b=-2$$

Zëvendëso b me -2 në a=-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh a menjëherë.

$$a=-\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{3}{7}$$

Shumëzo -\frac{2}{7} herë -2.

$$a=\frac{4+3}{7}$$

Mblidh \frac{3}{7} me \frac{4}{7} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$a=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$a=1,b=-2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 4a nga të dyja anët.

$$-3a-4a=2b-3$$

Kombino -3a dhe -4a për të marrë -7a.

$$-7a=2b-3$$

Zbrit 2b nga të dyja anët.

$$-7a-2b=-3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndryshorja a nuk mund të jetë e barabartë me 0 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 2a.

$$-b=2a$$

Zbrit 2a nga të dyja anët.

$$-b-2a=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$-7a-2b=-3,-2a-b=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{7}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{7}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-3\right)\\\frac{2}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës a dhe b.

$$a=1,b=-2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 4a nga të dyja anët.

$$-3a-4a=2b-3$$

Kombino -3a dhe -4a për të marrë -7a.

$$-7a=2b-3$$

Zbrit 2b nga të dyja anët.

$$-7a-2b=-3$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndryshorja a nuk mund të jetë e barabartë me 0 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 2a.

$$-b=2a$$

Zbrit 2a nga të dyja anët.

$$-b-2a=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$-7a-2b=-3,-2a-b=0$$

Për ta bërë -7a të barabartë me -2a, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me -7.

$$-2\left(-7\right)a-2\left(-2\right)b=-2\left(-3\right),-7\left(-2\right)a-7\left(-1\right)b=0$$

Thjeshto.

$$14a+4b=6,14a+7b=0$$

Zbrit 14a+7b=0 nga 14a+4b=6 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$14a-14a+4b-7b=6$$

Mblidh 14a me -14a. Shprehjet 14a dhe -14a thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$4b-7b=6$$

Mblidh 4b me -7b.

$$-3b=6$$

Pjesëto të dyja anët me -3.

$$b=-2$$

Zëvendëso b me -2 në -2a-b=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh a menjëherë.

$$-2a-\left(-2\right)=0$$

Zbrit 2 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-2a=-2$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$a=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$a=1,b=-2$$