Zgjidh {l}{-3(3x-y)=2(y+x)}{-3(2x+y)=2(x-3y)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 ( 3 x - y ) = 2 ( y + x ) } \\ { - 3 ( 2 x + y ) = 2 ( x - 3 y ) } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=0$$

$$y=0$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -3 me 3x-y.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me y+x.

$$-9x+3y=2y+2x$$

Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$-9x+3y-2y=2x$$

Kombino 3y dhe -2y për të marrë y.

$$-9x+y=2x$$

Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$-9x+y-2x=0$$

Kombino -9x dhe -2x për të marrë -11x.

$$-11x+y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -3 me 2x+y.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x-3y.

$$-6x-3y=2x-6y$$

Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

Kombino -6x dhe -2x për të marrë -8x.

$$-8x-3y=-6y$$

Shto 6y në të dyja anët.

$$-8x-3y+6y=0$$

Kombino -3y dhe 6y për të marrë 3y.

$$-8x+3y=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$-11x+y=0$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-11x=-y$$

Pjesëto të dyja anët me -11.

$$x=-\frac{1}{11}\left(-1\right)y$$

Shumëzo -\frac{1}{11} herë -y.

$$x=\frac{1}{11}y$$

Zëvendëso x me \frac{y}{11} në ekuacionin tjetër, -8x+3y=0.

$$-8\times \frac{1}{11}y+3y=0$$

Shumëzo -8 herë \frac{y}{11}.

$$-\frac{8}{11}y+3y=0$$

Mblidh -\frac{8y}{11} me 3y.

$$\frac{25}{11}y=0$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{25}{11}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=0$$

Zëvendëso y me 0 në x=\frac{1}{11}y. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=0$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=0,y=0$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -3 me 3x-y.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me y+x.

$$-9x+3y=2y+2x$$

Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$-9x+3y-2y=2x$$

Kombino 3y dhe -2y për të marrë y.

$$-9x+y=2x$$

Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$-9x+y-2x=0$$

Kombino -9x dhe -2x për të marrë -11x.

$$-11x+y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -3 me 2x+y.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x-3y.

$$-6x-3y=2x-6y$$

Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

Kombino -6x dhe -2x për të marrë -8x.

$$-8x-3y=-6y$$

Shto 6y në të dyja anët.

$$-8x-3y+6y=0$$

Kombino -3y dhe 6y për të marrë 3y.

$$-8x+3y=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-11\times 3-\left(-8\right)}&-\frac{1}{-11\times 3-\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{-11\times 3-\left(-8\right)}&-\frac{11}{-11\times 3-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{25}&\frac{1}{25}\\-\frac{8}{25}&\frac{11}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=0,y=0$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -3 me 3x-y.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me y+x.

$$-9x+3y=2y+2x$$

Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$-9x+3y-2y=2x$$

Kombino 3y dhe -2y për të marrë y.

$$-9x+y=2x$$

Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$-9x+y-2x=0$$

Kombino -9x dhe -2x për të marrë -11x.

$$-11x+y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -3 me 2x+y.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x-3y.

$$-6x-3y=2x-6y$$

Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

Kombino -6x dhe -2x për të marrë -8x.

$$-8x-3y=-6y$$

Shto 6y në të dyja anët.

$$-8x-3y+6y=0$$

Kombino -3y dhe 6y për të marrë 3y.

$$-8x+3y=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

Për ta bërë -11x të barabartë me -8x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -8 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me -11.

$$-8\left(-11\right)x-8y=0,-11\left(-8\right)x-11\times 3y=0$$

Thjeshto.

$$88x-8y=0,88x-33y=0$$

Zbrit 88x-33y=0 nga 88x-8y=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$88x-88x-8y+33y=0$$

Mblidh 88x me -88x. Shprehjet 88x dhe -88x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-8y+33y=0$$

Mblidh -8y me 33y.

$$25y=0$$

Pjesëto të dyja anët me 25.

$$y=0$$

Zëvendëso y me 0 në -8x+3y=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-8x=0$$

Pjesëto të dyja anët me -8.

$$x=0$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=0,y=0$$