Zgjidh {l}{-(-x-y)-4(y-x)=8}{3x-1+2(y+3)-5=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - ( - x - y ) - 4 ( y - x ) = 8 } \\ { 3 x - 1 + 2 ( y + 3 ) - 5 = 20 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=4$$

$$y=4$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Për të gjetur të kundërtën e -x-y, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -4 me y-x.

$$-\left(-x\right)+y-4y+4x=8$$

Kombino y dhe -4y për të marrë -3y.

$$-\left(-x\right)-3y+4x=8$$

Shumëzo -1 me -1 për të marrë 1.

$$x-3y+4x=8$$

Kombino x dhe 4x për të marrë 5x.

$$5x-3y=8$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me y+3.

$$3x-1+2y+6-5=20$$

Shto -1 dhe 6 për të marrë 5.

$$3x+5+2y-5=20$$

Zbrit 5 nga 5 për të marrë 0.

$$3x+2y=20$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$5x-3y=8$$

Mblidh 3y në të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=3y+8$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+8\right)$$

Shumëzo \frac{1}{5} herë 3y+8.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}$$

Zëvendëso x me \frac{3y+8}{5} në ekuacionin tjetër, 3x+2y=20.

$$3\left(\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}\right)+2y=20$$

Shumëzo 3 herë \frac{3y+8}{5}.

$$\frac{9}{5}y+\frac{24}{5}+2y=20$$

Mblidh \frac{9y}{5} me 2y.

$$\frac{19}{5}y+\frac{24}{5}=20$$

Zbrit \frac{24}{5} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{19}{5}y=\frac{76}{5}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{19}{5}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=4$$

Zëvendëso y me 4 në x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{3}{5}\times 4+\frac{8}{5}$$

Shumëzo \frac{3}{5} herë 4.

$$x=\frac{12+8}{5}$$

Mblidh \frac{8}{5} me \frac{12}{5} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=4,y=4$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Për të gjetur të kundërtën e -x-y, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -4 me y-x.

$$-\left(-x\right)+y-4y+4x=8$$

Kombino y dhe -4y për të marrë -3y.

$$-\left(-x\right)-3y+4x=8$$

Shumëzo -1 me -1 për të marrë 1.

$$x-3y+4x=8$$

Kombino x dhe 4x për të marrë 5x.

$$5x-3y=8$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me y+3.

$$3x-1+2y+6-5=20$$

Shto -1 dhe 6 për të marrë 5.

$$3x+5+2y-5=20$$

Zbrit 5 nga 5 për të marrë 0.

$$3x+2y=20$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 8+\frac{3}{19}\times 20\\-\frac{3}{19}\times 8+\frac{5}{19}\times 20\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=4,y=4$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Për të gjetur të kundërtën e -x-y, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -4 me y-x.

$$-\left(-x\right)+y-4y+4x=8$$

Kombino y dhe -4y për të marrë -3y.

$$-\left(-x\right)-3y+4x=8$$

Shumëzo -1 me -1 për të marrë 1.

$$x-3y+4x=8$$

Kombino x dhe 4x për të marrë 5x.

$$5x-3y=8$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me y+3.

$$3x-1+2y+6-5=20$$

Shto -1 dhe 6 për të marrë 5.

$$3x+5+2y-5=20$$

Zbrit 5 nga 5 për të marrë 0.

$$3x+2y=20$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

Për ta bërë 5x të barabartë me 3x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 5.

$$3\times 5x+3\left(-3\right)y=3\times 8,5\times 3x+5\times 2y=5\times 20$$

Thjeshto.

$$15x-9y=24,15x+10y=100$$

Zbrit 15x+10y=100 nga 15x-9y=24 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$15x-15x-9y-10y=24-100$$

Mblidh 15x me -15x. Shprehjet 15x dhe -15x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-9y-10y=24-100$$

Mblidh -9y me -10y.

$$-19y=24-100$$

Mblidh 24 me -100.

$$-19y=-76$$

Pjesëto të dyja anët me -19.

$$y=4$$

Zëvendëso y me 4 në 3x+2y=20. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$3x+2\times 4=20$$

Shumëzo 2 herë 4.

$$3x+8=20$$

Zbrit 8 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=12$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=4,y=4$$