Zgjidh {l}{(x-2)^2-2(x-2y)=1-(3-x)(3+x)}{2x+y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x - 2 ) ^ { 2 } - 2 ( x - 2 y ) = 1 - ( 3 - x ) ( 3 + x ) } \\ { 2 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=2$$

$$y=0$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -2 me x-2y.

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Kombino -4x dhe -2x për të marrë -6x.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Merr parasysh \left(3-x\right)\left(3+x\right). Shumëzimi mund të shndërrohet në diferencë të katrorëve duke përdorur rregullën: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ngri në fuqi të dytë 3.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

Për të gjetur të kundërtën e 9-x^{2}, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

Zbrit 9 nga 1 për të marrë -8.

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

Zbrit x^{2} nga të dyja anët.

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

Kombino x^{2} dhe -x^{2} për të marrë 0.

$$-6x+4+4y=-8$$

Zbrit 4 nga të dyja anët.

$$-6x+4y=-8-4$$

Zbrit 4 nga -8 për të marrë -12.

$$-6x+4y=-12$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$-6x+4y=-12$$

Zbrit 4y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-6x=-4y-12$$

Pjesëto të dyja anët me -6.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-4y-12\right)$$

Shumëzo -\frac{1}{6} herë -4y-12.

$$x=\frac{2}{3}y+2$$

Zëvendëso x me \frac{2y}{3}+2 në ekuacionin tjetër, 2x+y=4.

$$2\left(\frac{2}{3}y+2\right)+y=4$$

Shumëzo 2 herë \frac{2y}{3}+2.

$$\frac{4}{3}y+4+y=4$$

Mblidh \frac{4y}{3} me y.

$$\frac{7}{3}y+4=4$$

Zbrit 4 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{7}{3}y=0$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{7}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=0$$

Zëvendëso y me 0 në x=\frac{2}{3}y+2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=2,y=0$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -2 me x-2y.

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Kombino -4x dhe -2x për të marrë -6x.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Merr parasysh \left(3-x\right)\left(3+x\right). Shumëzimi mund të shndërrohet në diferencë të katrorëve duke përdorur rregullën: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ngri në fuqi të dytë 3.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

Për të gjetur të kundërtën e 9-x^{2}, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

Zbrit 9 nga 1 për të marrë -8.

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

Zbrit x^{2} nga të dyja anët.

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

Kombino x^{2} dhe -x^{2} për të marrë 0.

$$-6x+4+4y=-8$$

Zbrit 4 nga të dyja anët.

$$-6x+4y=-8-4$$

Zbrit 4 nga -8 për të marrë -12.

$$-6x+4y=-12$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-6-4\times 2}&-\frac{4}{-6-4\times 2}\\-\frac{2}{-6-4\times 2}&-\frac{6}{-6-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\left(-12\right)+\frac{2}{7}\times 4\\\frac{1}{7}\left(-12\right)+\frac{3}{7}\times 4\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=2,y=0$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -2 me x-2y.

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Kombino -4x dhe -2x për të marrë -6x.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Merr parasysh \left(3-x\right)\left(3+x\right). Shumëzimi mund të shndërrohet në diferencë të katrorëve duke përdorur rregullën: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ngri në fuqi të dytë 3.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

Për të gjetur të kundërtën e 9-x^{2}, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

Zbrit 9 nga 1 për të marrë -8.

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

Zbrit x^{2} nga të dyja anët.

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

Kombino x^{2} dhe -x^{2} për të marrë 0.

$$-6x+4+4y=-8$$

Zbrit 4 nga të dyja anët.

$$-6x+4y=-8-4$$

Zbrit 4 nga -8 për të marrë -12.

$$-6x+4y=-12$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

Për ta bërë -6x të barabartë me 2x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me -6.

$$2\left(-6\right)x+2\times 4y=2\left(-12\right),-6\times 2x-6y=-6\times 4$$

Thjeshto.

$$-12x+8y=-24,-12x-6y=-24$$

Zbrit -12x-6y=-24 nga -12x+8y=-24 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-12x+12x+8y+6y=-24+24$$

Mblidh -12x me 12x. Shprehjet -12x dhe 12x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$8y+6y=-24+24$$

Mblidh 8y me 6y.

$$14y=-24+24$$

Mblidh -24 me 24.

$$14y=0$$

Pjesëto të dyja anët me 14.

$$y=0$$

Zëvendëso y me 0 në 2x+y=4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$2x=4$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=2,y=0$$