Zgjidh {l}{(x+2)^2+1=x^2+5y}{3x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x + 2 ) ^ { 2 } + 1 = x ^ { 2 } + 5 y } \\ { 3 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=0$$

$$y=1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Shto 4 dhe 1 për të marrë 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

Zbrit x^{2} nga të dyja anët.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Kombino x^{2} dhe -x^{2} për të marrë 0.

$$4x+5=5y$$

Zbrit 5y nga të dyja anët.

$$4x+5-5y=0$$

Zbrit 5 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$4x-5y=-5$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$4x-5y=-5$$

Mblidh 5y në të dyja anët e ekuacionit.

$$4x=5y-5$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-5\right)$$

Shumëzo \frac{1}{4} herë -5+5y.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}$$

Zëvendëso x me \frac{-5+5y}{4} në ekuacionin tjetër, 3x+y=1.

$$3\left(\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}\right)+y=1$$

Shumëzo 3 herë \frac{-5+5y}{4}.

$$\frac{15}{4}y-\frac{15}{4}+y=1$$

Mblidh \frac{15y}{4} me y.

$$\frac{19}{4}y-\frac{15}{4}=1$$

Mblidh \frac{15}{4} në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{19}{4}y=\frac{19}{4}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{19}{4}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=1$$

Zëvendëso y me 1 në x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{5-5}{4}$$

Mblidh -\frac{5}{4} me \frac{5}{4} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=0$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=0,y=1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Shto 4 dhe 1 për të marrë 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

Zbrit x^{2} nga të dyja anët.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Kombino x^{2} dhe -x^{2} për të marrë 0.

$$4x+5=5y$$

Zbrit 5y nga të dyja anët.

$$4x+5-5y=0$$

Zbrit 5 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$4x-5y=-5$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-5\times 3\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\left(-5\right)+\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}\left(-5\right)+\frac{4}{19}\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=0,y=1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Shto 4 dhe 1 për të marrë 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

Zbrit x^{2} nga të dyja anët.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Kombino x^{2} dhe -x^{2} për të marrë 0.

$$4x+5=5y$$

Zbrit 5y nga të dyja anët.

$$4x+5-5y=0$$

Zbrit 5 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$4x-5y=-5$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Për ta bërë 4x të barabartë me 3x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 4.

$$3\times 4x+3\left(-5\right)y=3\left(-5\right),4\times 3x+4y=4$$

Thjeshto.

$$12x-15y=-15,12x+4y=4$$

Zbrit 12x+4y=4 nga 12x-15y=-15 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$12x-12x-15y-4y=-15-4$$

Mblidh 12x me -12x. Shprehjet 12x dhe -12x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-15y-4y=-15-4$$

Mblidh -15y me -4y.

$$-19y=-15-4$$

Mblidh -15 me -4.

$$-19y=-19$$

Pjesëto të dyja anët me -19.

$$y=1$$

Zëvendëso y me 1 në 3x+y=1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$3x+1=1$$

Zbrit 1 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=0$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=0$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=0,y=1$$