Zgjidh {l}{(a+2012)-2(b-2013)=3}{3(a+2012)+4(b-2013)=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( a + 2012 ) - 2 ( b - 2013 ) = 3 } \\ { 3 ( a + 2012 ) + 4 ( b - 2013 ) = 5 } \end{array} \right.$$

Gjej a, b

$$a = -\frac{10049}{5} = -2009\frac{4}{5} = -2009.8$$

$$b = \frac{10063}{5} = 2012\frac{3}{5} = 2012.6$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3,3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej a duke veçuar a në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3$$

Shumëzo -2 herë b-2013.

$$a-2b+4026+2012=3$$

Mblidh 4026 me 2012.

$$a-2b+6038=3$$

Zbrit 6038 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$a-2b=-6035$$

Mblidh 2b në të dyja anët e ekuacionit.

$$a=2b-6035$$

Zëvendëso a me 2b-6035 në ekuacionin tjetër, 3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5.

$$3\left(2b-6035+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

Mblidh -6035 me 2012.

$$3\left(2b-4023\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

Shumëzo 3 herë 2b-4023.

$$6b-12069+4\left(b-2013\right)=5$$

Shumëzo 4 herë b-2013.

$$6b-12069+4b-8052=5$$

Mblidh 6b me 4b.

$$10b-12069-8052=5$$

Mblidh -12069 me -8052.

$$10b-20121=5$$

Mblidh 20121 në të dyja anët e ekuacionit.

$$10b=20126$$

Pjesëto të dyja anët me 10.

$$b=\frac{10063}{5}$$

Zëvendëso b me \frac{10063}{5} në a=2b-6035. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh a menjëherë.

$$a=2\times \frac{10063}{5}-6035$$

Shumëzo 2 herë \frac{10063}{5}.

$$a=\frac{20126}{5}-6035$$

Mblidh -6035 me \frac{20126}{5}.

$$a=-\frac{10049}{5}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$a=-\frac{10049}{5},b=\frac{10063}{5}$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3,3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

Thjeshto ekuacionin e parë për ta vendosur në formë standarde.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3$$

Shumëzo -2 herë b-2013.

$$a-2b+4026+2012=3$$

Mblidh 4026 me 2012.

$$a-2b+6038=3$$

Zbrit 6038 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$a-2b=-6035$$

Thjeshto ekuacionin e dytë për ta vendosur në formë standarde.

$$3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

Shumëzo 3 herë a+2012.

$$3a+6036+4\left(b-2013\right)=5$$

Shumëzo 4 herë b-2013.

$$3a+6036+4b-8052=5$$

Mblidh 6036 me -8052.

$$3a+4b-2016=5$$

Mblidh 2016 në të dyja anët e ekuacionit.

$$3a+4b=2021$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-6035\right)+\frac{1}{5}\times 2021\\-\frac{3}{10}\left(-6035\right)+\frac{1}{10}\times 2021\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10049}{5}\\\frac{10063}{5}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës a dhe b.

$$a=-\frac{10049}{5},b=\frac{10063}{5}$$