Zgjidh {l}{(A+B)1/2-B=3/4}{(2A+B)1/4-B=5/4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( A + B ) \frac { 1 } { 2 } - B = \frac { 3 } { 4 } } \\ { ( 2 A + B ) \frac { 1 } { 4 } - B = \frac { 5 } { 4 } } \end{array} \right.$$

Gjej A, B

$$A=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$B=-2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar A+B me \frac{1}{2}.

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B-B=\frac{3}{4}$$

Kombino \frac{1}{2}B dhe -B për të marrë -\frac{1}{2}B.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4}$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2A+B me \frac{1}{4}.

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B-B=\frac{5}{4}$$

Kombino \frac{1}{4}B dhe -B për të marrë -\frac{3}{4}B.

$$\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4},\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej A duke veçuar A në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4}$$

Mblidh \frac{B}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{1}{2}A=\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}$$

Shumëzo të dyja anët me 2.

$$A=2\left(\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}\right)$$

Shumëzo 2 herë \frac{B}{2}+\frac{3}{4}.

$$A=B+\frac{3}{2}$$

Zëvendëso A me B+\frac{3}{2} në ekuacionin tjetër, \frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}.

$$\frac{1}{2}\left(B+\frac{3}{2}\right)-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë B+\frac{3}{2}.

$$\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Mblidh \frac{B}{2} me -\frac{3B}{4}.

$$-\frac{1}{4}B+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}$$

Zbrit \frac{3}{4} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{1}{4}B=\frac{1}{2}$$

Shumëzo të dyja anët me -4.

$$B=-2$$

Zëvendëso B me -2 në A=B+\frac{3}{2}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh A menjëherë.

$$A=-2+\frac{3}{2}$$

Mblidh \frac{3}{2} me -2.

$$A=-\frac{1}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$A=-\frac{1}{2},B=-2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar A+B me \frac{1}{2}.

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B-B=\frac{3}{4}$$

Kombino \frac{1}{2}B dhe -B për të marrë -\frac{1}{2}B.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4}$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2A+B me \frac{1}{4}.

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B-B=\frac{5}{4}$$

Kombino \frac{1}{4}B dhe -B për të marrë -\frac{3}{4}B.

$$\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4},\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}\\-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6&-4\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\times \frac{3}{4}-4\times \frac{5}{4}\\4\times \frac{3}{4}-4\times \frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\-2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës A dhe B.

$$A=-\frac{1}{2},B=-2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar A+B me \frac{1}{2}.

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B-B=\frac{3}{4}$$

Kombino \frac{1}{2}B dhe -B për të marrë -\frac{1}{2}B.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4}$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2A+B me \frac{1}{4}.

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B-B=\frac{5}{4}$$

Kombino \frac{1}{4}B dhe -B për të marrë -\frac{3}{4}B.

$$\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4},\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Zbrit \frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4} nga \frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4} duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}B=\frac{3-5}{4}$$

Mblidh \frac{A}{2} me -\frac{A}{2}. Shprehjet \frac{A}{2} dhe -\frac{A}{2} thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}B=\frac{3-5}{4}$$

Mblidh -\frac{B}{2} me \frac{3B}{4}.

$$\frac{1}{4}B=\frac{3-5}{4}$$

Mblidh \frac{3}{4} me -\frac{5}{4} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$\frac{1}{4}B=-\frac{1}{2}$$

Shumëzo të dyja anët me 4.

$$B=-2$$

Zëvendëso B me -2 në \frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh A menjëherë.

$$\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}\left(-2\right)=\frac{5}{4}$$

Shumëzo -\frac{3}{4} herë -2.

$$\frac{1}{2}A+\frac{3}{2}=\frac{5}{4}$$

Zbrit \frac{3}{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{1}{2}A=-\frac{1}{4}$$

Shumëzo të dyja anët me 2.

$$A=-\frac{1}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$A=-\frac{1}{2},B=-2$$