Zgjidh {l}{x/y=e}{x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { y } = e } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=\frac{e}{e+1}\approx 0.731058579$$

$$y=\frac{1}{e+1}\approx 0.268941421$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndryshorja y nuk mund të jetë e barabartë me 0 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me y.

$$x=ey$$

Zëvendëso x me ey në ekuacionin tjetër, x+y=1.

$$ey+y=1$$

Mblidh ey me y.

$$\left(e+1\right)y=1$$

Pjesëto të dyja anët me e+1.

$$y=\frac{1}{e+1}$$

Zëvendëso y me \frac{1}{e+1} në x=ey. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=e\times \frac{1}{e+1}$$

Shumëzo e herë \frac{1}{e+1}.

$$x=\frac{e}{e+1}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}$$

Ndryshorja y nuk mund të jetë e barabartë me 0.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}\text{, }y\neq 0$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndryshorja y nuk mund të jetë e barabartë me 0 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me y.

$$x=ey$$

Zbrit ey nga të dyja anët.

$$x-ey=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+\left(-e\right)y=0,x+y=1$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-e\right)}&-\frac{-e}{1-\left(-e\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-e\right)}&\frac{1}{1-\left(-e\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{e+1}&\frac{e}{e+1}\\-\frac{1}{e+1}&\frac{1}{e+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{e}{e+1}\\\frac{1}{e+1}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}$$

Ndryshorja y nuk mund të jetë e barabartë me 0.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}\text{, }y\neq 0$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndryshorja y nuk mund të jetë e barabartë me 0 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me y.

$$x=ey$$

Zbrit ey nga të dyja anët.

$$x-ey=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+\left(-e\right)y=0,x+y=1$$

Zbrit x+y=1 nga x+\left(-e\right)y=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$x-x+\left(-e\right)y-y=-1$$

Mblidh x me -x. Shprehjet x dhe -x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$\left(-e\right)y-y=-1$$

Mblidh -ey me -y.

$$\left(-e-1\right)y=-1$$

Pjesëto të dyja anët me -e-1.

$$y=\frac{1}{e+1}$$

Zëvendëso y me \frac{1}{1+e} në x+y=1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x+\frac{1}{e+1}=1$$

Zbrit \frac{1}{1+e} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{e}{e+1}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}$$

Ndryshorja y nuk mund të jetë e barabartë me 0.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}\text{, }y\neq 0$$