Zgjidh {l}{x/6-y/5=-4}{x/4-y/6=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 6 } - \frac { y } { 5 } = - 4 } \\ { \frac { x } { 4 } - \frac { y } { 6 } = - 2 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=12$$

$$y=30$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 30, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 6,5.

$$5x-6y=-120$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 12, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 4,6.

$$3x-2y=-24$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$5x-6y=-120$$

Mblidh 6y në të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=6y-120$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y-120\right)$$

Shumëzo \frac{1}{5} herë -120+6y.

$$x=\frac{6}{5}y-24$$

Zëvendëso x me \frac{6y}{5}-24 në ekuacionin tjetër, 3x-2y=-24.

$$3\left(\frac{6}{5}y-24\right)-2y=-24$$

Shumëzo 3 herë \frac{6y}{5}-24.

$$\frac{18}{5}y-72-2y=-24$$

Mblidh \frac{18y}{5} me -2y.

$$\frac{8}{5}y-72=-24$$

Mblidh 72 në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{8}{5}y=48$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{8}{5}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=30$$

Zëvendëso y me 30 në x=\frac{6}{5}y-24. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{6}{5}\times 30-24$$

Shumëzo \frac{6}{5} herë 30.

$$x=36-24$$

Mblidh -24 me 36.

$$x=12$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=12,y=30$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 30, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 6,5.

$$5x-6y=-120$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 12, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 4,6.

$$3x-2y=-24$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}&-\frac{-6}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-120\right)+\frac{3}{4}\left(-24\right)\\-\frac{3}{8}\left(-120\right)+\frac{5}{8}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\30\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=12,y=30$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 30, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 6,5.

$$5x-6y=-120$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 12, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 4,6.

$$3x-2y=-24$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

Për ta bërë 5x të barabartë me 3x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 5.

$$3\times 5x+3\left(-6\right)y=3\left(-120\right),5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\left(-24\right)$$

Thjeshto.

$$15x-18y=-360,15x-10y=-120$$

Zbrit 15x-10y=-120 nga 15x-18y=-360 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$15x-15x-18y+10y=-360+120$$

Mblidh 15x me -15x. Shprehjet 15x dhe -15x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-18y+10y=-360+120$$

Mblidh -18y me 10y.

$$-8y=-360+120$$

Mblidh -360 me 120.

$$-8y=-240$$

Pjesëto të dyja anët me -8.

$$y=30$$

Zëvendëso y me 30 në 3x-2y=-24. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$3x-2\times 30=-24$$

Shumëzo -2 herë 30.

$$3x-60=-24$$

Mblidh 60 në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=36$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=12$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=12,y=30$$