Zgjidh {l}{x/4-y/8=-3/8}{8x+5y=33}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } - \frac { y } { 8 } = - \frac { 3 } { 8 } } \\ { 8 x + 5 y = 33 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=1$$

$$y=5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 8, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 4,8.

$$2x-y=-3$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x-y=-3,8x+5y=33$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x-y=-3$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=y-3$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y-3\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë y-3.

$$x=\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}$$

Zëvendëso x me \frac{-3+y}{2} në ekuacionin tjetër, 8x+5y=33.

$$8\left(\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)+5y=33$$

Shumëzo 8 herë \frac{-3+y}{2}.

$$4y-12+5y=33$$

Mblidh 4y me 5y.

$$9y-12=33$$

Mblidh 12 në të dyja anët e ekuacionit.

$$9y=45$$

Pjesëto të dyja anët me 9.

$$y=5$$

Zëvendëso y me 5 në x=\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{1}{2}\times 5-\frac{3}{2}$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë 5.

$$x=\frac{5-3}{2}$$

Mblidh -\frac{3}{2} me \frac{5}{2} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1,y=5$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 8, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 4,8.

$$2x-y=-3$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x-y=-3,8x+5y=33$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\8&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\33\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&-1\\8&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\8&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\8&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\8&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\33\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\8&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\33\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\8&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\33\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-8\right)}&-\frac{-1}{2\times 5-\left(-8\right)}\\-\frac{8}{2\times 5-\left(-8\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\33\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}&\frac{1}{18}\\-\frac{4}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\33\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}\left(-3\right)+\frac{1}{18}\times 33\\-\frac{4}{9}\left(-3\right)+\frac{1}{9}\times 33\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=1,y=5$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 8, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 4,8.

$$2x-y=-3$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x-y=-3,8x+5y=33$$

Për ta bërë 2x të barabartë me 8x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 8 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$8\times 2x+8\left(-1\right)y=8\left(-3\right),2\times 8x+2\times 5y=2\times 33$$

Thjeshto.

$$16x-8y=-24,16x+10y=66$$

Zbrit 16x+10y=66 nga 16x-8y=-24 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$16x-16x-8y-10y=-24-66$$

Mblidh 16x me -16x. Shprehjet 16x dhe -16x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-8y-10y=-24-66$$

Mblidh -8y me -10y.

$$-18y=-24-66$$

Mblidh -24 me -66.

$$-18y=-90$$

Pjesëto të dyja anët me -18.

$$y=5$$

Zëvendëso y me 5 në 8x+5y=33. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$8x+5\times 5=33$$

Shumëzo 5 herë 5.

$$8x+25=33$$

Zbrit 25 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$8x=8$$

Pjesëto të dyja anët me 8.

$$x=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1,y=5$$