Zgjidh {l}{x/3-y/2=4}{x+y/12=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 2 } = 4 } \\ { x + \frac { y } { 12 } = 2 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{48}{19} = 2\frac{10}{19} \approx 2.526315789$$

$$y = -\frac{120}{19} = -6\frac{6}{19} \approx -6.315789474$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,2.

$$2x-3y=24$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 12.

$$12x+y=24$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x-3y=24$$

Mblidh 3y në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=3y+24$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+24\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë 24+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+12$$

Zëvendëso x me \frac{3y}{2}+12 në ekuacionin tjetër, 12x+y=24.

$$12\left(\frac{3}{2}y+12\right)+y=24$$

Shumëzo 12 herë \frac{3y}{2}+12.

$$18y+144+y=24$$

Mblidh 18y me y.

$$19y+144=24$$

Zbrit 144 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$19y=-120$$

Pjesëto të dyja anët me 19.

$$y=-\frac{120}{19}$$

Zëvendëso y me -\frac{120}{19} në x=\frac{3}{2}y+12. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{120}{19}\right)+12$$

Shumëzo \frac{3}{2} herë -\frac{120}{19} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{180}{19}+12$$

Mblidh 12 me -\frac{180}{19}.

$$x=\frac{48}{19}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,2.

$$2x-3y=24$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 12.

$$12x+y=24$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 12\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 12\right)}\\-\frac{12}{2-\left(-3\times 12\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{38}&\frac{3}{38}\\-\frac{6}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{38}\times 24+\frac{3}{38}\times 24\\-\frac{6}{19}\times 24+\frac{1}{19}\times 24\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{19}\\-\frac{120}{19}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,2.

$$2x-3y=24$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 12.

$$12x+y=24$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

Për ta bërë 2x të barabartë me 12x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 12 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$12\times 2x+12\left(-3\right)y=12\times 24,2\times 12x+2y=2\times 24$$

Thjeshto.

$$24x-36y=288,24x+2y=48$$

Zbrit 24x+2y=48 nga 24x-36y=288 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$24x-24x-36y-2y=288-48$$

Mblidh 24x me -24x. Shprehjet 24x dhe -24x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-36y-2y=288-48$$

Mblidh -36y me -2y.

$$-38y=288-48$$

Mblidh 288 me -48.

$$-38y=240$$

Pjesëto të dyja anët me -38.

$$y=-\frac{120}{19}$$

Zëvendëso y me -\frac{120}{19} në 12x+y=24. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$12x-\frac{120}{19}=24$$

Mblidh \frac{120}{19} në të dyja anët e ekuacionit.

$$12x=\frac{576}{19}$$

Pjesëto të dyja anët me 12.

$$x=\frac{48}{19}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$