Zgjidh {l}{x/3+y/4=2/2-6/6}{frac{2x+y}{5}-frac{y-2}{2}=frac{x+y-3}{4}-frac{y-x-1}{10}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 2 } { 2 } - \frac { 6 } { 6 } } \\ { \frac { 2 x + y } { 5 } - \frac { y - 2 } { 2 } = \frac { x + y - 3 } { 4 } - \frac { y - x - 1 } { 10 } } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = -\frac{33}{13} = -2\frac{7}{13} \approx -2.538461538$$

$$y = \frac{44}{13} = 3\frac{5}{13} \approx 3.384615385$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 12, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,4,2,6.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

Bëj shumëzimet.

$$4x+3y=12-12$$

Zbrit 12 nga 12 për të marrë 0.

$$4x+3y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 20, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5,2,4,10.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me 2x+y.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -10 me y-2.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Kombino 4y dhe -10y për të marrë -6y.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 5 me x+y-3.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -2 me y-x-1.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

Kombino 5y dhe -2y për të marrë 3y.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

Kombino 5x dhe 2x për të marrë 7x.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

Shto -15 dhe 2 për të marrë -13.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

Zbrit 7x nga të dyja anët.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

Kombino 8x dhe -7x për të marrë x.

$$x-6y+20=3y-13$$

Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$x-6y+20-3y=-13$$

Kombino -6y dhe -3y për të marrë -9y.

$$x-9y+20=-13$$

Zbrit 20 nga të dyja anët.

$$x-9y=-13-20$$

Zbrit 20 nga -13 për të marrë -33.

$$x-9y=-33$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$4x+3y=0$$

Zbrit 3y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$4x=-3y$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3\right)y$$

Shumëzo \frac{1}{4} herë -3y.

$$x=-\frac{3}{4}y$$

Zëvendëso x me -\frac{3y}{4} në ekuacionin tjetër, x-9y=-33.

$$-\frac{3}{4}y-9y=-33$$

Mblidh -\frac{3y}{4} me -9y.

$$-\frac{39}{4}y=-33$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{39}{4}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=\frac{44}{13}$$

Zëvendëso y me \frac{44}{13} në x=-\frac{3}{4}y. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{44}{13}$$

Shumëzo -\frac{3}{4} herë \frac{44}{13} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{33}{13}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 12, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,4,2,6.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

Bëj shumëzimet.

$$4x+3y=12-12$$

Zbrit 12 nga 12 për të marrë 0.

$$4x+3y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 20, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5,2,4,10.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me 2x+y.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -10 me y-2.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Kombino 4y dhe -10y për të marrë -6y.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 5 me x+y-3.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -2 me y-x-1.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

Kombino 5y dhe -2y për të marrë 3y.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

Kombino 5x dhe 2x për të marrë 7x.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

Shto -15 dhe 2 për të marrë -13.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

Zbrit 7x nga të dyja anët.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

Kombino 8x dhe -7x për të marrë x.

$$x-6y+20=3y-13$$

Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$x-6y+20-3y=-13$$

Kombino -6y dhe -3y për të marrë -9y.

$$x-9y+20=-13$$

Zbrit 20 nga të dyja anët.

$$x-9y=-13-20$$

Zbrit 20 nga -13 për të marrë -33.

$$x-9y=-33$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{4\left(-9\right)-3}&-\frac{3}{4\left(-9\right)-3}\\-\frac{1}{4\left(-9\right)-3}&\frac{4}{4\left(-9\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{1}{39}&-\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-33\right)\\-\frac{4}{39}\left(-33\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{33}{13}\\\frac{44}{13}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 12, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,4,2,6.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

Bëj shumëzimet.

$$4x+3y=12-12$$

Zbrit 12 nga 12 për të marrë 0.

$$4x+3y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 20, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5,2,4,10.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me 2x+y.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -10 me y-2.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Kombino 4y dhe -10y për të marrë -6y.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 5 me x+y-3.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -2 me y-x-1.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

Kombino 5y dhe -2y për të marrë 3y.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

Kombino 5x dhe 2x për të marrë 7x.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

Shto -15 dhe 2 për të marrë -13.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

Zbrit 7x nga të dyja anët.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

Kombino 8x dhe -7x për të marrë x.

$$x-6y+20=3y-13$$

Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$x-6y+20-3y=-13$$

Kombino -6y dhe -3y për të marrë -9y.

$$x-9y+20=-13$$

Zbrit 20 nga të dyja anët.

$$x-9y=-13-20$$

Zbrit 20 nga -13 për të marrë -33.

$$x-9y=-33$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

Për ta bërë 4x të barabartë me x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 4.

$$4x+3y=0,4x+4\left(-9\right)y=4\left(-33\right)$$

Thjeshto.

$$4x+3y=0,4x-36y=-132$$

Zbrit 4x-36y=-132 nga 4x+3y=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$4x-4x+3y+36y=132$$

Mblidh 4x me -4x. Shprehjet 4x dhe -4x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$3y+36y=132$$

Mblidh 3y me 36y.

$$39y=132$$

Pjesëto të dyja anët me 39.

$$y=\frac{44}{13}$$

Zëvendëso y me \frac{44}{13} në x-9y=-33. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x-9\times \frac{44}{13}=-33$$

Shumëzo -9 herë \frac{44}{13}.

$$x-\frac{396}{13}=-33$$

Mblidh \frac{396}{13} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-\frac{33}{13}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$