Zgjidh {l}{x/2+y/6=11/2}{2x/5-frac{y}{3}=-frac{1}{5}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 6 } = 1 \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 2 x } { 5 } - \frac { y } { 3 } = - \frac { 1 } { 5 } } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 2,6.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

Shumëzo 1 me 2 për të marrë 2.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

Shto 2 dhe 1 për të marrë 3.

$$3x+y=3\times 3$$

Shumëzo 3 me 3 për të marrë 9.

$$3x+y=9$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 15, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5,3.

$$3\times 2x-5y=-3$$

Shumëzo 3 me 2 për të marrë 6.

$$6x-5y=-3$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3x+y=9$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=-y+9$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+9\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë -y+9.

$$x=-\frac{1}{3}y+3$$

Zëvendëso x me -\frac{y}{3}+3 në ekuacionin tjetër, 6x-5y=-3.

$$6\left(-\frac{1}{3}y+3\right)-5y=-3$$

Shumëzo 6 herë -\frac{y}{3}+3.

$$-2y+18-5y=-3$$

Mblidh -2y me -5y.

$$-7y+18=-3$$

Zbrit 18 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-7y=-21$$

Pjesëto të dyja anët me -7.

$$y=3$$

Zëvendëso y me 3 në x=-\frac{1}{3}y+3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{1}{3}\times 3+3$$

Shumëzo -\frac{1}{3} herë 3.

$$x=-1+3$$

Mblidh 3 me -1.

$$x=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=2,y=3$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 2,6.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

Shumëzo 1 me 2 për të marrë 2.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

Shto 2 dhe 1 për të marrë 3.

$$3x+y=3\times 3$$

Shumëzo 3 me 3 për të marrë 9.

$$3x+y=9$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 15, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5,3.

$$3\times 2x-5y=-3$$

Shumëzo 3 me 2 për të marrë 6.

$$6x-5y=-3$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-6}&-\frac{1}{3\left(-5\right)-6}\\-\frac{6}{3\left(-5\right)-6}&\frac{3}{3\left(-5\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\times 9+\frac{1}{21}\left(-3\right)\\\frac{2}{7}\times 9-\frac{1}{7}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=2,y=3$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 2,6.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

Shumëzo 1 me 2 për të marrë 2.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

Shto 2 dhe 1 për të marrë 3.

$$3x+y=3\times 3$$

Shumëzo 3 me 3 për të marrë 9.

$$3x+y=9$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 15, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5,3.

$$3\times 2x-5y=-3$$

Shumëzo 3 me 2 për të marrë 6.

$$6x-5y=-3$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

Për ta bërë 3x të barabartë me 6x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 6 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 3.

$$6\times 3x+6y=6\times 9,3\times 6x+3\left(-5\right)y=3\left(-3\right)$$

Thjeshto.

$$18x+6y=54,18x-15y=-9$$

Zbrit 18x-15y=-9 nga 18x+6y=54 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$18x-18x+6y+15y=54+9$$

Mblidh 18x me -18x. Shprehjet 18x dhe -18x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$6y+15y=54+9$$

Mblidh 6y me 15y.

$$21y=54+9$$

Mblidh 54 me 9.

$$21y=63$$

Pjesëto të dyja anët me 21.

$$y=3$$

Zëvendëso y me 3 në 6x-5y=-3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$6x-5\times 3=-3$$

Shumëzo -5 herë 3.

$$6x-15=-3$$

Mblidh 15 në të dyja anët e ekuacionit.

$$6x=12$$

Pjesëto të dyja anët me 6.

$$x=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=2,y=3$$