Zgjidh {l}{x^2/4+y^2/2=1}{x=my+1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1 } \\ { x = m y + 1 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}$$

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}$$

Hapat që përdorin zëvendësimin dhe formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 4, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 4,2.

$$x^{2}+2y^{2}=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit my nga të dyja anët.

$$x-my=1$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+\left(-m\right)y=1,2y^{2}+x^{2}=4$$

Gjej x në x+\left(-m\right)y=1 duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+\left(-m\right)y=1$$

Zbrit \left(-m\right)y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=my+1$$

Zëvendëso x me my+1 në ekuacionin tjetër, 2y^{2}+x^{2}=4.

$$2y^{2}+\left(my+1\right)^{2}=4$$

Ngri në fuqi të dytë my+1.

$$2y^{2}+m^{2}y^{2}+2my+1=4$$

Mblidh 2y^{2} me m^{2}y^{2}.

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my+1=4$$

Zbrit 4 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my-3=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 2+1m^{2}, b me 1\times 1\times 2m dhe c me -3 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{\left(2m\right)^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Ngri në fuqi të dytë 1\times 1\times 2m.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Shumëzo -4 herë 2+1m^{2}.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+\left(-4m^{2}-8\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Shumëzo -8-4m^{2} herë -3.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+12m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Mblidh 4m^{2} me 24+12m^{2}.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{16m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Gjej rrënjën katrore të 24+16m^{2}.

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Shumëzo 2 herë 2+1m^{2}.

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4}$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} kur ± është plus. Mblidh -2m me 2\sqrt{6+4m^{2}}.

$$y=\frac{2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

Pjesëto -2m+2\sqrt{6+4m^{2}} me 4+2m^{2}.

$$y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} kur ± është minus. Zbrit 2\sqrt{6+4m^{2}} nga -2m.

$$y=\frac{-2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

Pjesëto -2m-2\sqrt{6+4m^{2}} me 4+2m^{2}.

$$y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

Ekzistojnë dy zgjidhje për y: \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} dhe -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}. Zëvendëso y me \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} në ekuacionin x=my+1 për të gjetur zgjidhjen përkatëse për x që vërteton të dyja ekuacionet.

$$x=m\times \frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}+1$$

Shumëzo m herë \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}.

$$x=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m+1$$

Mblidh m\times \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} me 1.

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m$$

Tani zëvendëso y me -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} në ekuacionin x=my+1 dhe zgjidhe për të gjetur zgjidhjen përkatëse për x që vërteton të dyja ekuacionet.

$$x=m\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)+1$$

Shumëzo m herë -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}.

$$x=\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m+1$$

Mblidh m\left(-\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}\right) me 1.

$$x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m,y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}\text{ or }x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m,y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

Gjej x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}\text{; }x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}\text{, }&m\neq -\sqrt{2}i\text{ and }m\neq \sqrt{2}i\\x=\frac{5}{2}=2.5\text{, }y=\frac{3}{2m}\text{, }&m=-\sqrt{2}i\text{ or }m=\sqrt{2}i\end{matrix}\right.$$