Zgjidh {l}{x+y+2/3-y=2}{x/2+2y/3=x-4/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + y + 2 } { 3 } - y = 2 } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { 2 y } { 3 } = x - \frac { 4 } { 3 } } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=0$$

$$y=-2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3.

$$x+y+2-3y=6$$

Kombino y dhe -3y për të marrë -2y.

$$x-2y+2=6$$

Zbrit 2 nga të dyja anët.

$$x-2y=6-2$$

Zbrit 2 nga 6 për të marrë 4.

$$x-2y=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 2,3.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

Shumëzo 2 me 2 për të marrë 4.

$$3x+4y=6x-8$$

Zbrit 6x nga të dyja anët.

$$3x+4y-6x=-8$$

Kombino 3x dhe -6x për të marrë -3x.

$$-3x+4y=-8$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x-2y=4$$

Mblidh 2y në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=2y+4$$

Zëvendëso x me 4+2y në ekuacionin tjetër, -3x+4y=-8.

$$-3\left(2y+4\right)+4y=-8$$

Shumëzo -3 herë 4+2y.

$$-6y-12+4y=-8$$

Mblidh -6y me 4y.

$$-2y-12=-8$$

Mblidh 12 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-2y=4$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$y=-2$$

Zëvendëso y me -2 në x=2y+4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=2\left(-2\right)+4$$

Shumëzo 2 herë -2.

$$x=-4+4$$

Mblidh 4 me -4.

$$x=0$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=0,y=-2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3.

$$x+y+2-3y=6$$

Kombino y dhe -3y për të marrë -2y.

$$x-2y+2=6$$

Zbrit 2 nga të dyja anët.

$$x-2y=6-2$$

Zbrit 2 nga 6 për të marrë 4.

$$x-2y=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 2,3.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

Shumëzo 2 me 2 për të marrë 4.

$$3x+4y=6x-8$$

Zbrit 6x nga të dyja anët.

$$3x+4y-6x=-8$$

Kombino 3x dhe -6x për të marrë -3x.

$$-3x+4y=-8$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-1\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 4-\left(-8\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=0,y=-2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3.

$$x+y+2-3y=6$$

Kombino y dhe -3y për të marrë -2y.

$$x-2y+2=6$$

Zbrit 2 nga të dyja anët.

$$x-2y=6-2$$

Zbrit 2 nga 6 për të marrë 4.

$$x-2y=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 2,3.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

Shumëzo 2 me 2 për të marrë 4.

$$3x+4y=6x-8$$

Zbrit 6x nga të dyja anët.

$$3x+4y-6x=-8$$

Kombino 3x dhe -6x për të marrë -3x.

$$-3x+4y=-8$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

Për ta bërë x të barabartë me -3x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$-3x-3\left(-2\right)y=-3\times 4,-3x+4y=-8$$

Thjeshto.

$$-3x+6y=-12,-3x+4y=-8$$

Zbrit -3x+4y=-8 nga -3x+6y=-12 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-3x+3x+6y-4y=-12+8$$

Mblidh -3x me 3x. Shprehjet -3x dhe 3x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$6y-4y=-12+8$$

Mblidh 6y me -4y.

$$2y=-12+8$$

Mblidh -12 me 8.

$$2y=-4$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$y=-2$$

Zëvendëso y me -2 në -3x+4y=-8. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-3x+4\left(-2\right)=-8$$

Shumëzo 4 herë -2.

$$-3x-8=-8$$

Mblidh 8 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-3x=0$$

Pjesëto të dyja anët me -3.

$$x=0$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=0,y=-2$$