Zgjidh {l}{x+2/y+5=x+7/y}{2x-4y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { y + 5 } = \frac { x + 7 } { y } } \\ { 2 x - 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = -\frac{29}{6} = -4\frac{5}{6} \approx -4.833333333$$

$$y = -\frac{13}{6} = -2\frac{1}{6} \approx -2.166666667$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndryshorja y nuk mund të jetë e barabartë me asnjërën prej vlerave -5,0 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me y\left(y+5\right), shumëfishin më të vogël të përbashkët të y+5,y.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar y me x+2.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar y+5 me x+7.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

Zbrit yx nga të dyja anët.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

Kombino yx dhe -yx për të marrë 0.

$$2y=7y+5x+35$$

Zbrit 7y nga të dyja anët.

$$2y-7y=5x+35$$

Kombino 2y dhe -7y për të marrë -5y.

$$-5y=5x+35$$

Pjesëto të dyja anët me -5.

$$y=-\frac{1}{5}\left(5x+35\right)$$

Shumëzo -\frac{1}{5} herë 35+5x.

$$y=-x-7$$

Zëvendëso y me -x-7 në ekuacionin tjetër, -4y+2x=-1.

$$-4\left(-x-7\right)+2x=-1$$

Shumëzo -4 herë -x-7.

$$4x+28+2x=-1$$

Mblidh 4x me 2x.

$$6x+28=-1$$

Zbrit 28 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$6x=-29$$

Pjesëto të dyja anët me 6.

$$x=-\frac{29}{6}$$

Zëvendëso x me -\frac{29}{6} në y=-x-7. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=-\left(-\frac{29}{6}\right)-7$$

Shumëzo -1 herë -\frac{29}{6}.

$$y=\frac{29}{6}-7$$

Mblidh -7 me \frac{29}{6}.

$$y=-\frac{13}{6}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndryshorja y nuk mund të jetë e barabartë me asnjërën prej vlerave -5,0 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me y\left(y+5\right), shumëfishin më të vogël të përbashkët të y+5,y.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar y me x+2.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar y+5 me x+7.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

Zbrit yx nga të dyja anët.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

Kombino yx dhe -yx për të marrë 0.

$$2y=7y+5x+35$$

Zbrit 7y nga të dyja anët.

$$2y-7y=5x+35$$

Kombino 2y dhe -7y për të marrë -5y.

$$-5y=5x+35$$

Zbrit 5x nga të dyja anët.

$$-5y-5x=35$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 35-\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{2}{15}\times 35+\frac{1}{6}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{6}\\-\frac{29}{6}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndryshorja y nuk mund të jetë e barabartë me asnjërën prej vlerave -5,0 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me y\left(y+5\right), shumëfishin më të vogël të përbashkët të y+5,y.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar y me x+2.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar y+5 me x+7.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

Zbrit yx nga të dyja anët.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

Kombino yx dhe -yx për të marrë 0.

$$2y=7y+5x+35$$

Zbrit 7y nga të dyja anët.

$$2y-7y=5x+35$$

Kombino 2y dhe -7y për të marrë -5y.

$$-5y=5x+35$$

Zbrit 5x nga të dyja anët.

$$-5y-5x=35$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

Për ta bërë -5y të barabartë me -4y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -4 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me -5.

$$-4\left(-5\right)y-4\left(-5\right)x=-4\times 35,-5\left(-4\right)y-5\times 2x=-5\left(-1\right)$$

Thjeshto.

$$20y+20x=-140,20y-10x=5$$

Zbrit 20y-10x=5 nga 20y+20x=-140 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$20y-20y+20x+10x=-140-5$$

Mblidh 20y me -20y. Shprehjet 20y dhe -20y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$20x+10x=-140-5$$

Mblidh 20x me 10x.

$$30x=-140-5$$

Mblidh -140 me -5.

$$30x=-145$$

Pjesëto të dyja anët me 30.

$$x=-\frac{29}{6}$$

Zëvendëso x me -\frac{29}{6} në -4y+2x=-1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$-4y+2\left(-\frac{29}{6}\right)=-1$$

Shumëzo 2 herë -\frac{29}{6}.

$$-4y-\frac{29}{3}=-1$$

Mblidh \frac{29}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$-4y=\frac{26}{3}$$

Pjesëto të dyja anët me -4.

$$y=-\frac{13}{6}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$