Zgjidh {l}{a/4-bln1/2+1/2=1+ln2}{a-2b=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { a } { 4 } - b \ln \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } = 1 + \ln 2 } \\ { a - 2 b = 0 } \end{array} \right.$$

Gjej a, b

$$a=2$$

$$b=1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 4, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 4,2.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)+2=4+4\ln(2)$$

Zbrit 2 nga të dyja anët.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=4+4\ln(2)-2$$

Zbrit 2 nga 4 për të marrë 2.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=2+4\ln(2)$$

Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 4.

$$16\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=8+16\ln(2)$$

Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 4.

$$64\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=32+64\ln(2)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 64 me \frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2}).

$$64\times \frac{a}{4}+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 4 në 64 dhe 4.

$$16a+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,a-2b=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej a duke veçuar a në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32$$

Zbrit 64\ln(2)b nga të dyja anët e ekuacionit.

$$16a=\left(-64\ln(2)\right)b+64\ln(2)+32$$

Pjesëto të dyja anët me 16.

$$a=\frac{1}{16}\left(\left(-64\ln(2)\right)b+64\ln(2)+32\right)$$

Shumëzo \frac{1}{16} herë -64\ln(2)b+32+64\ln(2).

$$a=\left(-4\ln(2)\right)b+4\ln(2)+2$$

Zëvendëso a me -4\ln(2)b+2+4\ln(2) në ekuacionin tjetër, a-2b=0.

$$\left(-4\ln(2)\right)b+4\ln(2)+2-2b=0$$

Mblidh -4\ln(2)b me -2b.

$$\left(-4\ln(2)-2\right)b+4\ln(2)+2=0$$

Zbrit 2+4\ln(2) nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(-4\ln(2)-2\right)b=-4\ln(2)-2$$

Pjesëto të dyja anët me -4\ln(2)-2.

$$b=1$$

Zëvendëso b me 1 në a=\left(-4\ln(2)\right)b+4\ln(2)+2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh a menjëherë.

$$a=-4\ln(2)+4\ln(2)+2$$

Mblidh 2+4\ln(2) me -4\ln(2).

$$a=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$a=2,b=1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 4, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 4,2.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)+2=4+4\ln(2)$$

Zbrit 2 nga të dyja anët.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=4+4\ln(2)-2$$

Zbrit 2 nga 4 për të marrë 2.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=2+4\ln(2)$$

Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 4.

$$16\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=8+16\ln(2)$$

Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 4.

$$64\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=32+64\ln(2)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 64 me \frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2}).

$$64\times \frac{a}{4}+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 4 në 64 dhe 4.

$$16a+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,a-2b=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}&-\frac{64\ln(2)}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}\\-\frac{1}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}&\frac{16}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16\left(2\ln(2)+1\right)}&\frac{2\ln(2)}{2\ln(2)+1}\\\frac{1}{32\left(2\ln(2)+1\right)}&-\frac{1}{2\left(2\ln(2)+1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16\left(2\ln(2)+1\right)}\left(64\ln(2)+32\right)\\\frac{1}{32\left(2\ln(2)+1\right)}\left(64\ln(2)+32\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës a dhe b.

$$a=2,b=1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 4, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 4,2.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)+2=4+4\ln(2)$$

Zbrit 2 nga të dyja anët.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=4+4\ln(2)-2$$

Zbrit 2 nga 4 për të marrë 2.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=2+4\ln(2)$$

Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 4.

$$16\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=8+16\ln(2)$$

Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 4.

$$64\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=32+64\ln(2)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 64 me \frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2}).

$$64\times \frac{a}{4}+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 4 në 64 dhe 4.

$$16a+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,a-2b=0$$

Për ta bërë 16a të barabartë me a, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 16.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,16a+16\left(-2\right)b=0$$

Thjeshto.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,16a-32b=0$$

Zbrit 16a-32b=0 nga 16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$16a-16a+64\ln(2)b+32b=64\ln(2)+32$$

Mblidh 16a me -16a. Shprehjet 16a dhe -16a thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$64\ln(2)b+32b=64\ln(2)+32$$

Mblidh 64\ln(2)b me 32b.

$$\left(64\ln(2)+32\right)b=64\ln(2)+32$$

Pjesëto të dyja anët me 32+64\ln(2).

$$b=1$$

Zëvendëso b me 1 në a-2b=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh a menjëherë.

$$a-2=0$$

Mblidh 2 në të dyja anët e ekuacionit.

$$a=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$a=2,b=1$$