Zgjidh {l}{5(x-3)/4-3(2y+1)/10=4-7(x+y+1)/8}{6x-5(2y-7)=21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 5 ( x - 3 ) } { 4 } - \frac { 3 ( 2 y + 1 ) } { 10 } = \frac { 4 - 7 ( x + y + 1 ) } { 8 } } \\ { 6 x - 5 ( 2 y - 7 ) = 21 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{329}{229} = 1\frac{100}{229} \approx 1.436681223$$

$$y = \frac{518}{229} = 2\frac{60}{229} \approx 2.262008734$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 40, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 4,10,8.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Shumëzo 10 me 5 për të marrë 50.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 50 me x-3.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Shumëzo -4 me 3 për të marrë -12.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -12 me 2y+1.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Zbrit 12 nga -150 për të marrë -162.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -7 me x+y+1.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

Zbrit 7 nga 4 për të marrë -3.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 5 me -3-7x-7y.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

Shto 35x në të dyja anët.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

Kombino 50x dhe 35x për të marrë 85x.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

Shto 35y në të dyja anët.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

Kombino -24y dhe 35y për të marrë 11y.

$$85x-162+11y=-15$$

Shto 162 në të dyja anët.

$$85x+11y=-15+162$$

Shto -15 dhe 162 për të marrë 147.

$$85x+11y=147$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -5 me 2y-7.

$$6x-10y+35=21$$

Zbrit 35 nga të dyja anët.

$$6x-10y=21-35$$

Zbrit 35 nga 21 për të marrë -14.

$$6x-10y=-14$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$85x+11y=147$$

Zbrit 11y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$85x=-11y+147$$

Pjesëto të dyja anët me 85.

$$x=\frac{1}{85}\left(-11y+147\right)$$

Shumëzo \frac{1}{85} herë -11y+147.

$$x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}$$

Zëvendëso x me \frac{-11y+147}{85} në ekuacionin tjetër, 6x-10y=-14.

$$6\left(-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}\right)-10y=-14$$

Shumëzo 6 herë \frac{-11y+147}{85}.

$$-\frac{66}{85}y+\frac{882}{85}-10y=-14$$

Mblidh -\frac{66y}{85} me -10y.

$$-\frac{916}{85}y+\frac{882}{85}=-14$$

Zbrit \frac{882}{85} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{916}{85}y=-\frac{2072}{85}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{916}{85}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=\frac{518}{229}$$

Zëvendëso y me \frac{518}{229} në x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{11}{85}\times \frac{518}{229}+\frac{147}{85}$$

Shumëzo -\frac{11}{85} herë \frac{518}{229} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{5698}{19465}+\frac{147}{85}$$

Mblidh \frac{147}{85} me -\frac{5698}{19465} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{329}{229}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 40, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 4,10,8.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Shumëzo 10 me 5 për të marrë 50.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 50 me x-3.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Shumëzo -4 me 3 për të marrë -12.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -12 me 2y+1.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Zbrit 12 nga -150 për të marrë -162.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -7 me x+y+1.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

Zbrit 7 nga 4 për të marrë -3.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 5 me -3-7x-7y.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

Shto 35x në të dyja anët.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

Kombino 50x dhe 35x për të marrë 85x.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

Shto 35y në të dyja anët.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

Kombino -24y dhe 35y për të marrë 11y.

$$85x-162+11y=-15$$

Shto 162 në të dyja anët.

$$85x+11y=-15+162$$

Shto -15 dhe 162 për të marrë 147.

$$85x+11y=147$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -5 me 2y-7.

$$6x-10y+35=21$$

Zbrit 35 nga të dyja anët.

$$6x-10y=21-35$$

Zbrit 35 nga 21 për të marrë -14.

$$6x-10y=-14$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{85\left(-10\right)-11\times 6}&-\frac{11}{85\left(-10\right)-11\times 6}\\-\frac{6}{85\left(-10\right)-11\times 6}&\frac{85}{85\left(-10\right)-11\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}&\frac{11}{916}\\\frac{3}{458}&-\frac{85}{916}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}\times 147+\frac{11}{916}\left(-14\right)\\\frac{3}{458}\times 147-\frac{85}{916}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{329}{229}\\\frac{518}{229}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 40, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 4,10,8.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Shumëzo 10 me 5 për të marrë 50.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 50 me x-3.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Shumëzo -4 me 3 për të marrë -12.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -12 me 2y+1.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Zbrit 12 nga -150 për të marrë -162.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -7 me x+y+1.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

Zbrit 7 nga 4 për të marrë -3.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 5 me -3-7x-7y.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

Shto 35x në të dyja anët.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

Kombino 50x dhe 35x për të marrë 85x.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

Shto 35y në të dyja anët.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

Kombino -24y dhe 35y për të marrë 11y.

$$85x-162+11y=-15$$

Shto 162 në të dyja anët.

$$85x+11y=-15+162$$

Shto -15 dhe 162 për të marrë 147.

$$85x+11y=147$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -5 me 2y-7.

$$6x-10y+35=21$$

Zbrit 35 nga të dyja anët.

$$6x-10y=21-35$$

Zbrit 35 nga 21 për të marrë -14.

$$6x-10y=-14$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

Për ta bërë 85x të barabartë me 6x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 6 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 85.

$$6\times 85x+6\times 11y=6\times 147,85\times 6x+85\left(-10\right)y=85\left(-14\right)$$

Thjeshto.

$$510x+66y=882,510x-850y=-1190$$

Zbrit 510x-850y=-1190 nga 510x+66y=882 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$510x-510x+66y+850y=882+1190$$

Mblidh 510x me -510x. Shprehjet 510x dhe -510x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$66y+850y=882+1190$$

Mblidh 66y me 850y.

$$916y=882+1190$$

Mblidh 882 me 1190.

$$916y=2072$$

Pjesëto të dyja anët me 916.

$$y=\frac{518}{229}$$

Zëvendëso y me \frac{518}{229} në 6x-10y=-14. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$6x-10\times \frac{518}{229}=-14$$

Shumëzo -10 herë \frac{518}{229}.

$$6x-\frac{5180}{229}=-14$$

Mblidh \frac{5180}{229} në të dyja anët e ekuacionit.

$$6x=\frac{1974}{229}$$

Pjesëto të dyja anët me 6.

$$x=\frac{329}{229}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$