Zgjidh {l}{3x-7/4-2y+1/6=0}{x+2/5-5y+4/3=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x - 7 } { 4 } - \frac { 2 y + 1 } { 6 } = 0 } \\ { \frac { x + 2 } { 5 } - \frac { 5 y + 4 } { 3 } = - 2 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 12, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 4,6.

$$3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 3x-7.

$$9x-21-2\left(2y+1\right)=0$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -2 me 2y+1.

$$9x-21-4y-2=0$$

Zbrit 2 nga -21 për të marrë -23.

$$9x-23-4y=0$$

Shto 23 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$9x-4y=23$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 15, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5,3.

$$3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x+2.

$$3x+6-5\left(5y+4\right)=-30$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -5 me 5y+4.

$$3x+6-25y-20=-30$$

Zbrit 20 nga 6 për të marrë -14.

$$3x-14-25y=-30$$

Shto 14 në të dyja anët.

$$3x-25y=-30+14$$

Shto -30 dhe 14 për të marrë -16.

$$3x-25y=-16$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$9x-4y=23,3x-25y=-16$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$9x-4y=23$$

Mblidh 4y në të dyja anët e ekuacionit.

$$9x=4y+23$$

Pjesëto të dyja anët me 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(4y+23\right)$$

Shumëzo \frac{1}{9} herë 4y+23.

$$x=\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}$$

Zëvendëso x me \frac{4y+23}{9} në ekuacionin tjetër, 3x-25y=-16.

$$3\left(\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}\right)-25y=-16$$

Shumëzo 3 herë \frac{4y+23}{9}.

$$\frac{4}{3}y+\frac{23}{3}-25y=-16$$

Mblidh \frac{4y}{3} me -25y.

$$-\frac{71}{3}y+\frac{23}{3}=-16$$

Zbrit \frac{23}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{71}{3}y=-\frac{71}{3}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{71}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=1$$

Zëvendëso y me 1 në x=\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{4+23}{9}$$

Mblidh \frac{23}{9} me \frac{4}{9} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=3,y=1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 12, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 4,6.

$$3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 3x-7.

$$9x-21-2\left(2y+1\right)=0$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -2 me 2y+1.

$$9x-21-4y-2=0$$

Zbrit 2 nga -21 për të marrë -23.

$$9x-23-4y=0$$

Shto 23 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$9x-4y=23$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 15, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5,3.

$$3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x+2.

$$3x+6-5\left(5y+4\right)=-30$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -5 me 5y+4.

$$3x+6-25y-20=-30$$

Zbrit 20 nga 6 për të marrë -14.

$$3x-14-25y=-30$$

Shto 14 në të dyja anët.

$$3x-25y=-30+14$$

Shto -30 dhe 14 për të marrë -16.

$$3x-25y=-16$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$9x-4y=23,3x-25y=-16$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si një problemë e shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{25}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}&\frac{9}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{213}&-\frac{4}{213}\\\frac{1}{71}&-\frac{3}{71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{213}\times 23-\frac{4}{213}\left(-16\right)\\\frac{1}{71}\times 23-\frac{3}{71}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=3,y=1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 12, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 4,6.

$$3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 3x-7.

$$9x-21-2\left(2y+1\right)=0$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -2 me 2y+1.

$$9x-21-4y-2=0$$

Zbrit 2 nga -21 për të marrë -23.

$$9x-23-4y=0$$

Shto 23 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$9x-4y=23$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 15, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5,3.

$$3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x+2.

$$3x+6-5\left(5y+4\right)=-30$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -5 me 5y+4.

$$3x+6-25y-20=-30$$

Zbrit 20 nga 6 për të marrë -14.

$$3x-14-25y=-30$$

Shto 14 në të dyja anët.

$$3x-25y=-30+14$$

Shto -30 dhe 14 për të marrë -16.

$$3x-25y=-16$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$9x-4y=23,3x-25y=-16$$

Për ta bërë 9x të barabartë me 3x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 9.

$$3\times 9x+3\left(-4\right)y=3\times 23,9\times 3x+9\left(-25\right)y=9\left(-16\right)$$

Thjeshto.

$$27x-12y=69,27x-225y=-144$$

Zbrit 27x-225y=-144 nga 27x-12y=69 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$27x-27x-12y+225y=69+144$$

Mblidh 27x me -27x. Shprehjet 27x dhe -27x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-12y+225y=69+144$$

Mblidh -12y me 225y.

$$213y=69+144$$

Mblidh 69 me 144.

$$213y=213$$

Pjesëto të dyja anët me 213.

$$y=1$$

Zëvendëso y me 1 në 3x-25y=-16. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$3x-25=-16$$

Mblidh 25 në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=9$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=3,y=1$$