Zgjidh {l}{3x-1/2-4y-7/3=2}{3y-6/4-5-x/6=-1frac{5}{12}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x - 1 } { 2 } - \frac { 4 y - 7 } { 3 } = 2 } \\ { \frac { 3 y - 6 } { 4 } - \frac { 5 - x } { 6 } = - 1 \frac { 5 } { 12 } } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 2,3.

$$3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 3x-1.

$$9x-3-2\left(4y-7\right)=12$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -2 me 4y-7.

$$9x-3-8y+14=12$$

Shto -3 dhe 14 për të marrë 11.

$$9x+11-8y=12$$

Zbrit 11 nga të dyja anët.

$$9x-8y=12-11$$

Zbrit 11 nga 12 për të marrë 1.

$$9x-8y=1$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 12, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 4,6,12.

$$3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 3y-6.

$$9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -2 me 5-x.

$$9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

Zbrit 10 nga -18 për të marrë -28.

$$9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

Shumëzo 1 me 12 për të marrë 12.

$$9y-28+2x=-\left(12+5\right)$$

Shto 12 dhe 5 për të marrë 17.

$$9y-28+2x=-17$$

Shto 28 në të dyja anët.

$$9y+2x=-17+28$$

Shto -17 dhe 28 për të marrë 11.

$$9y+2x=11$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$9x-8y=1,2x+9y=11$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$9x-8y=1$$

Mblidh 8y në të dyja anët e ekuacionit.

$$9x=8y+1$$

Pjesëto të dyja anët me 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(8y+1\right)$$

Shumëzo \frac{1}{9} herë 8y+1.

$$x=\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}$$

Zëvendëso x me \frac{8y+1}{9} në ekuacionin tjetër, 2x+9y=11.

$$2\left(\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}\right)+9y=11$$

Shumëzo 2 herë \frac{8y+1}{9}.

$$\frac{16}{9}y+\frac{2}{9}+9y=11$$

Mblidh \frac{16y}{9} me 9y.

$$\frac{97}{9}y+\frac{2}{9}=11$$

Zbrit \frac{2}{9} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{97}{9}y=\frac{97}{9}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{97}{9}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=1$$

Zëvendëso y me 1 në x=\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{8+1}{9}$$

Mblidh \frac{1}{9} me \frac{8}{9} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1,y=1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 2,3.

$$3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 3x-1.

$$9x-3-2\left(4y-7\right)=12$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -2 me 4y-7.

$$9x-3-8y+14=12$$

Shto -3 dhe 14 për të marrë 11.

$$9x+11-8y=12$$

Zbrit 11 nga të dyja anët.

$$9x-8y=12-11$$

Zbrit 11 nga 12 për të marrë 1.

$$9x-8y=1$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 12, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 4,6,12.

$$3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 3y-6.

$$9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -2 me 5-x.

$$9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

Zbrit 10 nga -18 për të marrë -28.

$$9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

Shumëzo 1 me 12 për të marrë 12.

$$9y-28+2x=-\left(12+5\right)$$

Shto 12 dhe 5 për të marrë 17.

$$9y-28+2x=-17$$

Shto 28 në të dyja anët.

$$9y+2x=-17+28$$

Shto -17 dhe 28 për të marrë 11.

$$9y+2x=11$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$9x-8y=1,2x+9y=11$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}&-\frac{-8}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}\\-\frac{2}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}&\frac{9}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{97}&\frac{8}{97}\\-\frac{2}{97}&\frac{9}{97}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{97}+\frac{8}{97}\times 11\\-\frac{2}{97}+\frac{9}{97}\times 11\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=1,y=1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 2,3.

$$3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 3x-1.

$$9x-3-2\left(4y-7\right)=12$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -2 me 4y-7.

$$9x-3-8y+14=12$$

Shto -3 dhe 14 për të marrë 11.

$$9x+11-8y=12$$

Zbrit 11 nga të dyja anët.

$$9x-8y=12-11$$

Zbrit 11 nga 12 për të marrë 1.

$$9x-8y=1$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 12, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 4,6,12.

$$3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 3y-6.

$$9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -2 me 5-x.

$$9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

Zbrit 10 nga -18 për të marrë -28.

$$9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

Shumëzo 1 me 12 për të marrë 12.

$$9y-28+2x=-\left(12+5\right)$$

Shto 12 dhe 5 për të marrë 17.

$$9y-28+2x=-17$$

Shto 28 në të dyja anët.

$$9y+2x=-17+28$$

Shto -17 dhe 28 për të marrë 11.

$$9y+2x=11$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$9x-8y=1,2x+9y=11$$

Për ta bërë 9x të barabartë me 2x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 9.

$$2\times 9x+2\left(-8\right)y=2,9\times 2x+9\times 9y=9\times 11$$

Thjeshto.

$$18x-16y=2,18x+81y=99$$

Zbrit 18x+81y=99 nga 18x-16y=2 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$18x-18x-16y-81y=2-99$$

Mblidh 18x me -18x. Shprehjet 18x dhe -18x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-16y-81y=2-99$$

Mblidh -16y me -81y.

$$-97y=2-99$$

Mblidh 2 me -99.

$$-97y=-97$$

Pjesëto të dyja anët me -97.

$$y=1$$

Zëvendëso y me 1 në 2x+9y=11. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$2x+9=11$$

Zbrit 9 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=2$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1,y=1$$