Zgjidh {l}{3x+5y/6=-5}{2(x+7)+3y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x + 5 y } { 6 } = - 5 } \\ { 2 ( x + 7 ) + 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-5$$

$$y=-3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët me 6.

$$3x+5y=-5\times 6$$

Shumëzo -5 me 6 për të marrë -30.

$$3x+5y=-30$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x+7.

$$2x+14+3y=-5$$

Zbrit 14 nga të dyja anët.

$$2x+3y=-5-14$$

Zbrit 14 nga -5 për të marrë -19.

$$2x+3y=-19$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3x+5y=-30$$

Zbrit 5y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=-5y-30$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-30\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë -5y-30.

$$x=-\frac{5}{3}y-10$$

Zëvendëso x me -\frac{5y}{3}-10 në ekuacionin tjetër, 2x+3y=-19.

$$2\left(-\frac{5}{3}y-10\right)+3y=-19$$

Shumëzo 2 herë -\frac{5y}{3}-10.

$$-\frac{10}{3}y-20+3y=-19$$

Mblidh -\frac{10y}{3} me 3y.

$$-\frac{1}{3}y-20=-19$$

Mblidh 20 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{1}{3}y=1$$

Shumëzo të dyja anët me -3.

$$y=-3$$

Zëvendëso y me -3 në x=-\frac{5}{3}y-10. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-3\right)-10$$

Shumëzo -\frac{5}{3} herë -3.

$$x=5-10$$

Mblidh -10 me 5.

$$x=-5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-5,y=-3$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët me 6.

$$3x+5y=-5\times 6$$

Shumëzo -5 me 6 për të marrë -30.

$$3x+5y=-30$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x+7.

$$2x+14+3y=-5$$

Zbrit 14 nga të dyja anët.

$$2x+3y=-5-14$$

Zbrit 14 nga -5 për të marrë -19.

$$2x+3y=-19$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 2}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-5\times 2}&\frac{3}{3\times 3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\left(-30\right)+5\left(-19\right)\\2\left(-30\right)-3\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-3\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-5,y=-3$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët me 6.

$$3x+5y=-5\times 6$$

Shumëzo -5 me 6 për të marrë -30.

$$3x+5y=-30$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x+7.

$$2x+14+3y=-5$$

Zbrit 14 nga të dyja anët.

$$2x+3y=-5-14$$

Zbrit 14 nga -5 për të marrë -19.

$$2x+3y=-19$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

Për ta bërë 3x të barabartë me 2x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 3.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\left(-30\right),3\times 2x+3\times 3y=3\left(-19\right)$$

Thjeshto.

$$6x+10y=-60,6x+9y=-57$$

Zbrit 6x+9y=-57 nga 6x+10y=-60 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$6x-6x+10y-9y=-60+57$$

Mblidh 6x me -6x. Shprehjet 6x dhe -6x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$10y-9y=-60+57$$

Mblidh 10y me -9y.

$$y=-60+57$$

Mblidh -60 me 57.

$$y=-3$$

Zëvendëso y me -3 në 2x+3y=-19. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$2x+3\left(-3\right)=-19$$

Shumëzo 3 herë -3.

$$2x-9=-19$$

Mblidh 9 në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=-10$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=-5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-5,y=-3$$