Zgjidh {l}{2x-5/3+3y-4/3=-1/3}{y=x+5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x - 5 } { 3 } + \frac { 3 y - 4 } { 3 } = - \frac { 1 } { 3 } } \\ { y = x + 5 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3.

$$2x-5+3y-4=-1$$

Zbrit 4 nga -5 për të marrë -9.

$$2x-9+3y=-1$$

Shto 9 në të dyja anët.

$$2x+3y=-1+9$$

Shto -1 dhe 9 për të marrë 8.

$$2x+3y=8$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=5$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x+3y=8$$

Zbrit 3y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=-3y+8$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë -3y+8.

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

Zëvendëso x me -\frac{3y}{2}+4 në ekuacionin tjetër, -x+y=5.

$$-\left(-\frac{3}{2}y+4\right)+y=5$$

Shumëzo -1 herë -\frac{3y}{2}+4.

$$\frac{3}{2}y-4+y=5$$

Mblidh \frac{3y}{2} me y.

$$\frac{5}{2}y-4=5$$

Mblidh 4 në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{5}{2}y=9$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{5}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=\frac{18}{5}$$

Zëvendëso y me \frac{18}{5} në x=-\frac{3}{2}y+4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{18}{5}+4$$

Shumëzo -\frac{3}{2} herë \frac{18}{5} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{27}{5}+4$$

Mblidh 4 me -\frac{27}{5}.

$$x=-\frac{7}{5}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3.

$$2x-5+3y-4=-1$$

Zbrit 4 nga -5 për të marrë -9.

$$2x-9+3y=-1$$

Shto 9 në të dyja anët.

$$2x+3y=-1+9$$

Shto -1 dhe 9 për të marrë 8.

$$2x+3y=8$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=5$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2-3\left(-1\right)}&\frac{2}{2-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 8-\frac{3}{5}\times 5\\\frac{1}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5}\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3.

$$2x-5+3y-4=-1$$

Zbrit 4 nga -5 për të marrë -9.

$$2x-9+3y=-1$$

Shto 9 në të dyja anët.

$$2x+3y=-1+9$$

Shto -1 dhe 9 për të marrë 8.

$$2x+3y=8$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=5$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

Për ta bërë 2x të barabartë me -x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$-2x-3y=-8,2\left(-1\right)x+2y=2\times 5$$

Thjeshto.

$$-2x-3y=-8,-2x+2y=10$$

Zbrit -2x+2y=10 nga -2x-3y=-8 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-2x+2x-3y-2y=-8-10$$

Mblidh -2x me 2x. Shprehjet -2x dhe 2x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-3y-2y=-8-10$$

Mblidh -3y me -2y.

$$-5y=-8-10$$

Mblidh -8 me -10.

$$-5y=-18$$

Pjesëto të dyja anët me -5.

$$y=\frac{18}{5}$$

Zëvendëso y me \frac{18}{5} në -x+y=5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-x+\frac{18}{5}=5$$

Zbrit \frac{18}{5} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-x=\frac{7}{5}$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=-\frac{7}{5}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$