Zgjidh {l}{2x/5+3y/4=1/5}{5x/6+frac{5y}{2}=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x } { 5 } + \frac { 3 y } { 4 } = \frac { 1 } { 5 } } \\ { \frac { 5 x } { 6 } + \frac { 5 y } { 2 } = 2 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2.666666667$$

$$y = \frac{76}{45} = 1\frac{31}{45} \approx 1.688888889$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 20, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5,4.

$$4\times 2x+5\times 3y=4$$

Shumëzo 4 me 2 për të marrë 8.

$$8x+5\times 3y=4$$

Shumëzo 5 me 3 për të marrë 15.

$$8x+15y=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 6,2.

$$5x+3\times 5y=12$$

Shumëzo 3 me 5 për të marrë 15.

$$5x+15y=12$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$8x+15y=4,5x+15y=12$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$8x+15y=4$$

Zbrit 15y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$8x=-15y+4$$

Pjesëto të dyja anët me 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-15y+4\right)$$

Shumëzo \frac{1}{8} herë -15y+4.

$$x=-\frac{15}{8}y+\frac{1}{2}$$

Zëvendëso x me -\frac{15y}{8}+\frac{1}{2} në ekuacionin tjetër, 5x+15y=12.

$$5\left(-\frac{15}{8}y+\frac{1}{2}\right)+15y=12$$

Shumëzo 5 herë -\frac{15y}{8}+\frac{1}{2}.

$$-\frac{75}{8}y+\frac{5}{2}+15y=12$$

Mblidh -\frac{75y}{8} me 15y.

$$\frac{45}{8}y+\frac{5}{2}=12$$

Zbrit \frac{5}{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{45}{8}y=\frac{19}{2}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{45}{8}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=\frac{76}{45}$$

Zëvendëso y me \frac{76}{45} në x=-\frac{15}{8}y+\frac{1}{2}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{15}{8}\times \frac{76}{45}+\frac{1}{2}$$

Shumëzo -\frac{15}{8} herë \frac{76}{45} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{19}{6}+\frac{1}{2}$$

Mblidh \frac{1}{2} me -\frac{19}{6} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{8}{3},y=\frac{76}{45}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 20, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5,4.

$$4\times 2x+5\times 3y=4$$

Shumëzo 4 me 2 për të marrë 8.

$$8x+5\times 3y=4$$

Shumëzo 5 me 3 për të marrë 15.

$$8x+15y=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 6,2.

$$5x+3\times 5y=12$$

Shumëzo 3 me 5 për të marrë 15.

$$5x+15y=12$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$8x+15y=4,5x+15y=12$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}8&15\\5&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}8&15\\5&15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&15\\5&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&15\\5&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&15\\5&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&15\\5&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&15\\5&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{8\times 15-15\times 5}&-\frac{15}{8\times 15-15\times 5}\\-\frac{5}{8\times 15-15\times 5}&\frac{8}{8\times 15-15\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&\frac{8}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 4-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\times 4+\frac{8}{45}\times 12\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3}\\\frac{76}{45}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-\frac{8}{3},y=\frac{76}{45}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 20, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5,4.

$$4\times 2x+5\times 3y=4$$

Shumëzo 4 me 2 për të marrë 8.

$$8x+5\times 3y=4$$

Shumëzo 5 me 3 për të marrë 15.

$$8x+15y=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 6,2.

$$5x+3\times 5y=12$$

Shumëzo 3 me 5 për të marrë 15.

$$5x+15y=12$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$8x+15y=4,5x+15y=12$$

Zbrit 5x+15y=12 nga 8x+15y=4 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$8x-5x+15y-15y=4-12$$

Mblidh 15y me -15y. Shprehjet 15y dhe -15y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$8x-5x=4-12$$

Mblidh 8x me -5x.

$$3x=4-12$$

Mblidh 4 me -12.

$$3x=-8$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Zëvendëso x me -\frac{8}{3} në 5x+15y=12. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$5\left(-\frac{8}{3}\right)+15y=12$$

Shumëzo 5 herë -\frac{8}{3}.

$$-\frac{40}{3}+15y=12$$

Mblidh \frac{40}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$15y=\frac{76}{3}$$

Pjesëto të dyja anët me 15.

$$y=\frac{76}{45}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{8}{3},y=\frac{76}{45}$$