Zgjidh {l}{2x+7y/3+y=0}{x+5y-1/2=7+2x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 7 y } { 3 } + y = 0 } \\ { x + \frac { 5 y - 1 } { 2 } = 7 + 2 x } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-5$$

$$y=1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3.

$$2x+7y+3y=0$$

Kombino 7y dhe 3y për të marrë 10y.

$$2x+10y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 2.

$$2x+5y-1=14+4x$$

Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$2x+5y-1-4x=14$$

Kombino 2x dhe -4x për të marrë -2x.

$$-2x+5y-1=14$$

Shto 1 në të dyja anët.

$$-2x+5y=14+1$$

Shto 14 dhe 1 për të marrë 15.

$$-2x+5y=15$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x+10y=0,-2x+5y=15$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x+10y=0$$

Zbrit 10y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=-10y$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)y$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë -10y.

$$x=-5y$$

Zëvendëso x me -5y në ekuacionin tjetër, -2x+5y=15.

$$-2\left(-5\right)y+5y=15$$

Shumëzo -2 herë -5y.

$$10y+5y=15$$

Mblidh 10y me 5y.

$$15y=15$$

Pjesëto të dyja anët me 15.

$$y=1$$

Zëvendëso y me 1 në x=-5y. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-5,y=1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3.

$$2x+7y+3y=0$$

Kombino 7y dhe 3y për të marrë 10y.

$$2x+10y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 2.

$$2x+5y-1=14+4x$$

Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$2x+5y-1-4x=14$$

Kombino 2x dhe -4x për të marrë -2x.

$$-2x+5y-1=14$$

Shto 1 në të dyja anët.

$$-2x+5y=14+1$$

Shto 14 dhe 1 për të marrë 15.

$$-2x+5y=15$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x+10y=0,-2x+5y=15$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\15\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\15\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\15\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\15\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-10\left(-2\right)}&-\frac{10}{2\times 5-10\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 5-10\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 5-10\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\15\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{15}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\15\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 15\\\frac{1}{15}\times 15\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-5,y=1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3.

$$2x+7y+3y=0$$

Kombino 7y dhe 3y për të marrë 10y.

$$2x+10y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 2.

$$2x+5y-1=14+4x$$

Zbrit 4x nga të dyja anët.

$$2x+5y-1-4x=14$$

Kombino 2x dhe -4x për të marrë -2x.

$$-2x+5y-1=14$$

Shto 1 në të dyja anët.

$$-2x+5y=14+1$$

Shto 14 dhe 1 për të marrë 15.

$$-2x+5y=15$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x+10y=0,-2x+5y=15$$

Për ta bërë 2x të barabartë me -2x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$-2\times 2x-2\times 10y=0,2\left(-2\right)x+2\times 5y=2\times 15$$

Thjeshto.

$$-4x-20y=0,-4x+10y=30$$

Zbrit -4x+10y=30 nga -4x-20y=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-4x+4x-20y-10y=-30$$

Mblidh -4x me 4x. Shprehjet -4x dhe 4x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-20y-10y=-30$$

Mblidh -20y me -10y.

$$-30y=-30$$

Pjesëto të dyja anët me -30.

$$y=1$$

Zëvendëso y me 1 në -2x+5y=15. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-2x+5=15$$

Zbrit 5 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-2x=10$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$x=-5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-5,y=1$$