Zgjidh {l}{2x+7y/3+y=0}{x+5y-1/2=2-x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 7 y } { 3 } + y = 0 } \\ { x + \frac { 5 y - 1 } { 2 } = 2 - x } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3.

$$2x+7y+3y=0$$

Kombino 7y dhe 3y për të marrë 10y.

$$2x+10y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 2.

$$2x+5y-1=4-2x$$

Shto 2x në të dyja anët.

$$2x+5y-1+2x=4$$

Kombino 2x dhe 2x për të marrë 4x.

$$4x+5y-1=4$$

Shto 1 në të dyja anët.

$$4x+5y=4+1$$

Shto 4 dhe 1 për të marrë 5.

$$4x+5y=5$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x+10y=0$$

Zbrit 10y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=-10y$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)y$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë -10y.

$$x=-5y$$

Zëvendëso x me -5y në ekuacionin tjetër, 4x+5y=5.

$$4\left(-5\right)y+5y=5$$

Shumëzo 4 herë -5y.

$$-20y+5y=5$$

Mblidh -20y me 5y.

$$-15y=5$$

Pjesëto të dyja anët me -15.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Zëvendëso y me -\frac{1}{3} në x=-5y. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-5\left(-\frac{1}{3}\right)$$

Shumëzo -5 herë -\frac{1}{3}.

$$x=\frac{5}{3}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3.

$$2x+7y+3y=0$$

Kombino 7y dhe 3y për të marrë 10y.

$$2x+10y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 2.

$$2x+5y-1=4-2x$$

Shto 2x në të dyja anët.

$$2x+5y-1+2x=4$$

Kombino 2x dhe 2x për të marrë 4x.

$$4x+5y-1=4$$

Shto 1 në të dyja anët.

$$4x+5y=4+1$$

Shto 4 dhe 1 për të marrë 5.

$$4x+5y=5$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-10\times 4}&-\frac{10}{2\times 5-10\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-10\times 4}&\frac{2}{2\times 5-10\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5\\-\frac{1}{15}\times 5\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3.

$$2x+7y+3y=0$$

Kombino 7y dhe 3y për të marrë 10y.

$$2x+10y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 2.

$$2x+5y-1=4-2x$$

Shto 2x në të dyja anët.

$$2x+5y-1+2x=4$$

Kombino 2x dhe 2x për të marrë 4x.

$$4x+5y-1=4$$

Shto 1 në të dyja anët.

$$4x+5y=4+1$$

Shto 4 dhe 1 për të marrë 5.

$$4x+5y=5$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

Për ta bërë 2x të barabartë me 4x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 4 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$4\times 2x+4\times 10y=0,2\times 4x+2\times 5y=2\times 5$$

Thjeshto.

$$8x+40y=0,8x+10y=10$$

Zbrit 8x+10y=10 nga 8x+40y=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$8x-8x+40y-10y=-10$$

Mblidh 8x me -8x. Shprehjet 8x dhe -8x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$40y-10y=-10$$

Mblidh 40y me -10y.

$$30y=-10$$

Pjesëto të dyja anët me 30.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Zëvendëso y me -\frac{1}{3} në 4x+5y=5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$4x+5\left(-\frac{1}{3}\right)=5$$

Shumëzo 5 herë -\frac{1}{3}.

$$4x-\frac{5}{3}=5$$

Mblidh \frac{5}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$4x=\frac{20}{3}$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x=\frac{5}{3}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$