Zgjidh {c}{y=2-2x}{5y+2x=14}

$$\left\{ \begin{array} { c } { y = 2 - 2 x } \\ { 5 y + 2 x = 14 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 2x në të dyja anët.

$$y+2x=2$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y+2x=2,5y+2x=14$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y+2x=2$$

Zbrit 2x nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-2x+2$$

Zëvendëso y me -2x+2 në ekuacionin tjetër, 5y+2x=14.

$$5\left(-2x+2\right)+2x=14$$

Shumëzo 5 herë -2x+2.

$$-10x+10+2x=14$$

Mblidh -10x me 2x.

$$-8x+10=14$$

Zbrit 10 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-8x=4$$

Pjesëto të dyja anët me -8.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Zëvendëso x me -\frac{1}{2} në y=-2x+2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=-2\left(-\frac{1}{2}\right)+2$$

Shumëzo -2 herë -\frac{1}{2}.

$$y=1+2$$

Mblidh 2 me 1.

$$y=3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=3,x=-\frac{1}{2}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 2x në të dyja anët.

$$y+2x=2$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y+2x=2,5y+2x=14$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-2\times 5}&-\frac{2}{2-2\times 5}\\-\frac{5}{2-2\times 5}&\frac{1}{2-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{5}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 2+\frac{1}{4}\times 14\\\frac{5}{8}\times 2-\frac{1}{8}\times 14\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=3,x=-\frac{1}{2}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 2x në të dyja anët.

$$y+2x=2$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y+2x=2,5y+2x=14$$

Zbrit 5y+2x=14 nga y+2x=2 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-5y+2x-2x=2-14$$

Mblidh 2x me -2x. Shprehjet 2x dhe -2x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$y-5y=2-14$$

Mblidh y me -5y.

$$-4y=2-14$$

Mblidh 2 me -14.

$$-4y=-12$$

Pjesëto të dyja anët me -4.

$$y=3$$

Zëvendëso y me 3 në 5y+2x=14. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$5\times 3+2x=14$$

Shumëzo 5 herë 3.

$$15+2x=14$$

Zbrit 15 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=-1$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=3,x=-\frac{1}{2}$$