Zgjidh {c}{x-3-2(y+1)=-12}{3(x-2y)-2y=-21}

$$\left\{ \begin{array} { c } { x - 3 - 2 ( y + 1 ) = - 12 } \\ { 3 ( x - 2 y ) - 2 y = - 21 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-7$$

$$y=0$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -2 me y+1.

$$x-3-2y-2=-12$$

Zbrit 2 nga -3 për të marrë -5.

$$x-5-2y=-12$$

Shto 5 në të dyja anët.

$$x-2y=-12+5$$

Shto -12 dhe 5 për të marrë -7.

$$x-2y=-7$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x-2y.

$$3x-6y-2y=-21$$

Kombino -6y dhe -2y për të marrë -8y.

$$3x-8y=-21$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x-2y=-7,3x-8y=-21$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x-2y=-7$$

Mblidh 2y në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=2y-7$$

Zëvendëso x me 2y-7 në ekuacionin tjetër, 3x-8y=-21.

$$3\left(2y-7\right)-8y=-21$$

Shumëzo 3 herë 2y-7.

$$6y-21-8y=-21$$

Mblidh 6y me -8y.

$$-2y-21=-21$$

Mblidh 21 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-2y=0$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$y=0$$

Zëvendëso y me 0 në x=2y-7. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-7$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-7,y=0$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -2 me y+1.

$$x-3-2y-2=-12$$

Zbrit 2 nga -3 për të marrë -5.

$$x-5-2y=-12$$

Shto 5 në të dyja anët.

$$x-2y=-12+5$$

Shto -12 dhe 5 për të marrë -7.

$$x-2y=-7$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x-2y.

$$3x-6y-2y=-21$$

Kombino -6y dhe -2y për të marrë -8y.

$$3x-8y=-21$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x-2y=-7,3x-8y=-21$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-2\\3&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{-8-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{-8-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{-8-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\left(-7\right)-\left(-21\right)\\\frac{3}{2}\left(-7\right)-\frac{1}{2}\left(-21\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\0\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-7,y=0$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -2 me y+1.

$$x-3-2y-2=-12$$

Zbrit 2 nga -3 për të marrë -5.

$$x-5-2y=-12$$

Shto 5 në të dyja anët.

$$x-2y=-12+5$$

Shto -12 dhe 5 për të marrë -7.

$$x-2y=-7$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x-2y.

$$3x-6y-2y=-21$$

Kombino -6y dhe -2y për të marrë -8y.

$$3x-8y=-21$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x-2y=-7,3x-8y=-21$$

Për ta bërë x të barabartë me 3x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$3x+3\left(-2\right)y=3\left(-7\right),3x-8y=-21$$

Thjeshto.

$$3x-6y=-21,3x-8y=-21$$

Zbrit 3x-8y=-21 nga 3x-6y=-21 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$3x-3x-6y+8y=-21+21$$

Mblidh 3x me -3x. Shprehjet 3x dhe -3x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-6y+8y=-21+21$$

Mblidh -6y me 8y.

$$2y=-21+21$$

Mblidh -21 me 21.

$$2y=0$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$y=0$$

Zëvendëso y me 0 në 3x-8y=-21. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$3x=-21$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=-7$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-7,y=0$$