Zgjidh {c}{2(3x-y)=2(x-5y)-64}{3(3x-2)-2y=0}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 ( 3 x - y ) = 2 ( x - 5 y ) - 64 } \\ { 3 ( 3 x - 2 ) - 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-1$$

$$y = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me 3x-y.

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x-5y.

$$6x-2y=2x-10y-64$$

Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

Kombino 6x dhe -2x për të marrë 4x.

$$4x-2y=-10y-64$$

Shto 10y në të dyja anët.

$$4x-2y+10y=-64$$

Kombino -2y dhe 10y për të marrë 8y.

$$4x+8y=-64$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 3x-2.

$$9x-6-2y=0$$

Shto 6 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$9x-2y=6$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$4x+8y=-64,9x-2y=6$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$4x+8y=-64$$

Zbrit 8y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$4x=-8y-64$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-8y-64\right)$$

Shumëzo \frac{1}{4} herë -8y-64.

$$x=-2y-16$$

Zëvendëso x me -2y-16 në ekuacionin tjetër, 9x-2y=6.

$$9\left(-2y-16\right)-2y=6$$

Shumëzo 9 herë -2y-16.

$$-18y-144-2y=6$$

Mblidh -18y me -2y.

$$-20y-144=6$$

Mblidh 144 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-20y=150$$

Pjesëto të dyja anët me -20.

$$y=-\frac{15}{2}$$

Zëvendëso y me -\frac{15}{2} në x=-2y-16. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-2\left(-\frac{15}{2}\right)-16$$

Shumëzo -2 herë -\frac{15}{2}.

$$x=15-16$$

Mblidh -16 me 15.

$$x=-1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-1,y=-\frac{15}{2}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me 3x-y.

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x-5y.

$$6x-2y=2x-10y-64$$

Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

Kombino 6x dhe -2x për të marrë 4x.

$$4x-2y=-10y-64$$

Shto 10y në të dyja anët.

$$4x-2y+10y=-64$$

Kombino -2y dhe 10y për të marrë 8y.

$$4x+8y=-64$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 3x-2.

$$9x-6-2y=0$$

Shto 6 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$9x-2y=6$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$4x+8y=-64,9x-2y=6$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-64\\6\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\6\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\6\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\6\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-8\times 9}&-\frac{8}{4\left(-2\right)-8\times 9}\\-\frac{9}{4\left(-2\right)-8\times 9}&\frac{4}{4\left(-2\right)-8\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\6\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}&\frac{1}{10}\\\frac{9}{80}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\6\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}\left(-64\right)+\frac{1}{10}\times 6\\\frac{9}{80}\left(-64\right)-\frac{1}{20}\times 6\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-\frac{15}{2}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-1,y=-\frac{15}{2}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me 3x-y.

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x-5y.

$$6x-2y=2x-10y-64$$

Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

Kombino 6x dhe -2x për të marrë 4x.

$$4x-2y=-10y-64$$

Shto 10y në të dyja anët.

$$4x-2y+10y=-64$$

Kombino -2y dhe 10y për të marrë 8y.

$$4x+8y=-64$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 3x-2.

$$9x-6-2y=0$$

Shto 6 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$9x-2y=6$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$4x+8y=-64,9x-2y=6$$

Për ta bërë 4x të barabartë me 9x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 9 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 4.

$$9\times 4x+9\times 8y=9\left(-64\right),4\times 9x+4\left(-2\right)y=4\times 6$$

Thjeshto.

$$36x+72y=-576,36x-8y=24$$

Zbrit 36x-8y=24 nga 36x+72y=-576 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$36x-36x+72y+8y=-576-24$$

Mblidh 36x me -36x. Shprehjet 36x dhe -36x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$72y+8y=-576-24$$

Mblidh 72y me 8y.

$$80y=-576-24$$

Mblidh -576 me -24.

$$80y=-600$$

Pjesëto të dyja anët me 80.

$$y=-\frac{15}{2}$$

Zëvendëso y me -\frac{15}{2} në 9x-2y=6. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$9x-2\left(-\frac{15}{2}\right)=6$$

Shumëzo -2 herë -\frac{15}{2}.

$$9x+15=6$$

Zbrit 15 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$9x=-9$$

Pjesëto të dyja anët me 9.

$$x=-1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-1,y=-\frac{15}{2}$$