Zgjidh ∫ (from 1 to 2) of 5left(5x-3right)^2 wrt x

$$\int_{ 1 }^{ 2 } 5 { \left(5x-3 \right) }^{ 2 } d x$$

Vlerëso

$$\frac{335}{3}\approx 111.666666667$$

Hapat e zgjidhjes

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(5x-3\right)^{2}.

$$\int _{1}^{2}5\left(25x^{2}-30x+9\right)\mathrm{d}x$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 5 me 25x^{2}-30x+9.

$$\int _{1}^{2}125x^{2}-150x+45\mathrm{d}x$$

Llogarit integralin e pacaktuar në fillim.

$$\int 125x^{2}-150x+45\mathrm{d}x$$

Integro shumën kufizë për kufizë.

$$\int 125x^{2}\mathrm{d}x+\int -150x\mathrm{d}x+\int 45\mathrm{d}x$$

Faktorizo konstanten në secilën kufizë.

$$125\int x^{2}\mathrm{d}x-150\int x\mathrm{d}x+\int 45\mathrm{d}x$$

Meqenëse integrali \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} për k\neq -1, zëvendëso integralin \int x^{2}\mathrm{d}x me \frac{x^{3}}{3}. Shumëzo 125 herë \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{125x^{3}}{3}-150\int x\mathrm{d}x+\int 45\mathrm{d}x$$

Meqenëse integrali \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} për k\neq -1, zëvendëso integralin \int x\mathrm{d}x me \frac{x^{2}}{2}. Shumëzo -150 herë \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{125x^{3}}{3}-75x^{2}+\int 45\mathrm{d}x$$

Gjej integralin e 45 nëpërmjet rregullit të tabelës së integraleve të zakonshme \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{125x^{3}}{3}-75x^{2}+45x$$

Integrali i caktuar është funksioni primitiv i shprehjes së llogaritur në kufirin e sipërm të integrimit, minus funksionin primitiv të llogaritur në kufirin e poshtëm të integrimit.

$$\frac{125}{3}\times 2^{3}-75\times 2^{2}+45\times 2-\left(\frac{125}{3}\times 1^{3}-75\times 1^{2}+45\times 1\right)$$

Thjeshto.

$$\frac{335}{3}$$