Zgjidh ∫ (from 0 to 2) of (1+x^2)^2 wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 2 } ( 1 + x ^ { 2 } ) ^ { 2 } d x$$

Vlerëso

$$\frac{206}{15}\approx 13.733333333$$

Hapat e zgjidhjes

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(1+x^{2}\right)^{2}.

$$\int _{0}^{2}1+2x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Për të ngritur një fuqi në një fuqi tjetër, shumëzo eksponentët. Shumëzo 2 me 2 për të marrë 4.

$$\int _{0}^{2}1+2x^{2}+x^{4}\mathrm{d}x$$

Llogarit integralin e pacaktuar në fillim.

$$\int 1+2x^{2}+x^{4}\mathrm{d}x$$

Integro shumën kufizë për kufizë.

$$\int 1\mathrm{d}x+\int 2x^{2}\mathrm{d}x+\int x^{4}\mathrm{d}x$$

Faktorizo konstanten në secilën kufizë.

$$\int 1\mathrm{d}x+2\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x^{4}\mathrm{d}x$$

Gjej integralin e 1 nëpërmjet rregullit të tabelës së integraleve të zakonshme \int a\mathrm{d}x=ax.

$$x+2\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x^{4}\mathrm{d}x$$

Meqenëse integrali \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} për k\neq -1, zëvendëso integralin \int x^{2}\mathrm{d}x me \frac{x^{3}}{3}. Shumëzo 2 herë \frac{x^{3}}{3}.

$$x+\frac{2x^{3}}{3}+\int x^{4}\mathrm{d}x$$

Meqenëse integrali \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} për k\neq -1, zëvendëso integralin \int x^{4}\mathrm{d}x me \frac{x^{5}}{5}.

$$x+\frac{2x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}$$

Thjeshto.

$$\frac{x^{5}}{5}+\frac{2x^{3}}{3}+x$$

Integrali i caktuar është funksioni primitiv i shprehjes së llogaritur në kufirin e sipërm të integrimit, minus funksionin primitiv të llogaritur në kufirin e poshtëm të integrimit.

$$\frac{2^{5}}{5}+\frac{2}{3}\times 2^{3}+2-\left(\frac{0^{5}}{5}+\frac{2}{3}\times 0^{3}+0\right)$$

Thjeshto.

$$\frac{206}{15}$$