Zgjidh 2x+1/x+4x/2x+1=5

$$\frac{ 2x+1 }{ x } + \frac{ 4x }{ 2x+1 } =5$$

Gjej x

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x=-1$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Ndryshorja x nuk mund të jetë e barabartë me asnjërën prej vlerave -\frac{1}{2},0 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me x\left(2x+1\right), shumëfishin më të vogël të përbashkët të x,2x+1.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Shumëzo 2x+1 me 2x+1 për të marrë \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(2x+1\right)^{2}+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Shumëzo x me x për të marrë x^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+x^{2}\times 4=5x\left(2x+1\right)$$

Kombino 4x^{2} dhe x^{2}\times 4 për të marrë 8x^{2}.

$$8x^{2}+4x+1=5x\left(2x+1\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 5x me 2x+1.

$$8x^{2}+4x+1=10x^{2}+5x$$

Zbrit 10x^{2} nga të dyja anët.

$$8x^{2}+4x+1-10x^{2}=5x$$

Kombino 8x^{2} dhe -10x^{2} për të marrë -2x^{2}.

$$-2x^{2}+4x+1=5x$$

Zbrit 5x nga të dyja anët.

$$-2x^{2}+4x+1-5x=0$$

Kombino 4x dhe -5x për të marrë -x.

$$-2x^{2}-x+1=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si -2x^{2}+ax+bx+1. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-1 ab=-2=-2$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Vetëm një çift i tillë është zgjidhja e sistemit.

$$a=1 b=-2$$

Rishkruaj -2x^{2}-x+1 si \left(-2x^{2}+x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(-2x^{2}+x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Faktorizo -x në grupin e parë dhe -1 në të dytin.

$$-x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 2x-1 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(2x-1\right)\left(-x-1\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 2x-1=0 dhe -x-1=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-1$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Ndryshorja x nuk mund të jetë e barabartë me asnjërën prej vlerave -\frac{1}{2},0 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me x\left(2x+1\right), shumëfishin më të vogël të përbashkët të x,2x+1.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Shumëzo 2x+1 me 2x+1 për të marrë \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(2x+1\right)^{2}+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Shumëzo x me x për të marrë x^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+x^{2}\times 4=5x\left(2x+1\right)$$

Kombino 4x^{2} dhe x^{2}\times 4 për të marrë 8x^{2}.

$$8x^{2}+4x+1=5x\left(2x+1\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 5x me 2x+1.

$$8x^{2}+4x+1=10x^{2}+5x$$

Zbrit 10x^{2} nga të dyja anët.

$$8x^{2}+4x+1-10x^{2}=5x$$

Kombino 8x^{2} dhe -10x^{2} për të marrë -2x^{2}.

$$-2x^{2}+4x+1=5x$$

Zbrit 5x nga të dyja anët.

$$-2x^{2}+4x+1-5x=0$$

Kombino 4x dhe -5x për të marrë -x.

$$-2x^{2}-x+1=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me -2, b me -1 dhe c me 1 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Shumëzo -4 herë -2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+8}}{2\left(-2\right)}$$

Mblidh 1 me 8.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{9}}{2\left(-2\right)}$$

Gjej rrënjën katrore të 9.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±3}{2\left(-2\right)}$$

E kundërta e -1 është 1.

$$x=\frac{1±3}{2\left(-2\right)}$$

Shumëzo 2 herë -2.

$$x=\frac{1±3}{-4}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{1±3}{-4} kur ± është plus. Mblidh 1 me 3.

$$x=\frac{4}{-4}$$

Pjesëto 4 me -4.

$$x=-1$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{1±3}{-4} kur ± është minus. Zbrit 3 nga 1.

$$x=-\frac{2}{-4}$$

Thjeshto thyesën \frac{-2}{-4} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=-1 x=\frac{1}{2}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ndryshorja x nuk mund të jetë e barabartë me asnjërën prej vlerave -\frac{1}{2},0 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me x\left(2x+1\right), shumëfishin më të vogël të përbashkët të x,2x+1.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Shumëzo 2x+1 me 2x+1 për të marrë \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(2x+1\right)^{2}+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Shumëzo x me x për të marrë x^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+x^{2}\times 4=5x\left(2x+1\right)$$

Kombino 4x^{2} dhe x^{2}\times 4 për të marrë 8x^{2}.

$$8x^{2}+4x+1=5x\left(2x+1\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 5x me 2x+1.

$$8x^{2}+4x+1=10x^{2}+5x$$

Zbrit 10x^{2} nga të dyja anët.

$$8x^{2}+4x+1-10x^{2}=5x$$

Kombino 8x^{2} dhe -10x^{2} për të marrë -2x^{2}.

$$-2x^{2}+4x+1=5x$$

Zbrit 5x nga të dyja anët.

$$-2x^{2}+4x+1-5x=0$$

Kombino 4x dhe -5x për të marrë -x.

$$-2x^{2}-x+1=0$$

Zbrit 1 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$-2x^{2}-x=-1$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$\frac{-2x^{2}-x}{-2}=-\frac{1}{-2}$$

Pjesëtimi me -2 zhbën shumëzimin me -2.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-2}\right)x=-\frac{1}{-2}$$

Pjesëto -1 me -2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{-2}$$

Pjesëto -1 me -2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$$

Pjesëto \frac{1}{2}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{1}{4}. Më pas mblidh katrorin e \frac{1}{4} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{1}{4} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$$

Mblidh \frac{1}{2} me \frac{1}{16} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{9}{16}$$

Faktori x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Thjeshto.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Zbrit \frac{1}{4} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{1}{2} x=-1$$