Zgjidh frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}+frac{2-sqrt{5}}{2+sqrt{5}}=a+sqrt{5b}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 5 } }{ 2- \sqrt{ 5 } } + \frac{ 2- \sqrt{ 5 } }{ 2+ \sqrt{ 5 } } = a+ \sqrt{ 5b }$$

Gjej b

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$a\leq -18$$

Hapat për zgjidhjen e ekuacioneve irracionale

Racionalizo emëruesin e \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin me 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Merr parasysh \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). Shumëzimi mund të shndërrohet në diferencë të katrorëve duke përdorur rregullën: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Ngri në fuqi të dytë 2. Ngri në fuqi të dytë \sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Zbrit 5 nga 4 për të marrë -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Shumëzo 2+\sqrt{5} me 2+\sqrt{5} për të marrë \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Katrori i \sqrt{5} është 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Shto 4 dhe 5 për të marrë 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Çdo numër i pjesëtuar me -1 jep të kundërtën e atij numri. Për të gjetur të kundërtën e 9+4\sqrt{5}, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Racionalizo emëruesin e \frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin me 2-\sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}=a+\sqrt{5b}$$

Merr parasysh \left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right). Shumëzimi mund të shndërrohet në diferencë të katrorëve duke përdorur rregullën: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}=a+\sqrt{5b}$$

Ngri në fuqi të dytë 2. Ngri në fuqi të dytë \sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{4-5}=a+\sqrt{5b}$$

Zbrit 5 nga 4 për të marrë -1.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Shumëzo 2-\sqrt{5} me 2-\sqrt{5} për të marrë \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Katrori i \sqrt{5} është 5.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+5}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Shto 4 dhe 5 për të marrë 9.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{9-4\sqrt{5}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Çdo numër i pjesëtuar me -1 jep të kundërtën e atij numri. Për të gjetur të kundërtën e 9-4\sqrt{5}, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$-9-4\sqrt{5}-9+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Zbrit 9 nga -9 për të marrë -18.

$$-18-4\sqrt{5}+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Kombino -4\sqrt{5} dhe 4\sqrt{5} për të marrë 0.

$$-18=a+\sqrt{5b}$$

Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$a+\sqrt{5b}=-18$$

Zbrit a nga të dyja anët.

$$\sqrt{5b}=-18-a$$

Ngri në fuqi të dytë të dyja anët e ekuacionit.

$$5b=\left(a+18\right)^{2}$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$\frac{5b}{5}=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Pjesëtimi me 5 zhbën shumëzimin me 5.

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Gjej a

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

$$b\geq 0$$