Zgjidh frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}-frac{2-sqrt{3}}{2+sqrt{3}}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 3 } }{ 2- \sqrt{ 3 } } - \frac{ 2- \sqrt{ 3 } }{ 2+ \sqrt{ 3 } }$$

Vlerëso

$$8\sqrt{3}\approx 13.856406461$$

Hapat e zgjidhjes

Racionalizo emëruesin e \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin me 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Merr parasysh \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). Shumëzimi mund të shndërrohet në diferencë të katrorëve duke përdorur rregullën: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Ngri në fuqi të dytë 2. Ngri në fuqi të dytë \sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Zbrit 3 nga 4 për të marrë 1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Çdo numër i pjesëtuar me një jep po atë numër.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Shumëzo 2+\sqrt{3} me 2+\sqrt{3} për të marrë \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Racionalizo emëruesin e \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin me 2-\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}$$

Merr parasysh \left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right). Shumëzimi mund të shndërrohet në diferencë të katrorëve duke përdorur rregullën: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Ngri në fuqi të dytë 2. Ngri në fuqi të dytë \sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}$$

Zbrit 3 nga 4 për të marrë 1.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{1}$$

Çdo numër i pjesëtuar me një jep po atë numër.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)$$

Shumëzo 2-\sqrt{3} me 2-\sqrt{3} për të marrë \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Katrori i \sqrt{3} është 3.

$$4+4\sqrt{3}+3-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Shto 4 dhe 3 për të marrë 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}\right)$$

Katrori i \sqrt{3} është 3.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+3\right)$$

Shto 4 dhe 3 për të marrë 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(7-4\sqrt{3}\right)$$

Për të gjetur të kundërtën e 7-4\sqrt{3}, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$7+4\sqrt{3}-7-\left(-4\sqrt{3}\right)$$

E kundërta e -4\sqrt{3} është 4\sqrt{3}.

$$7+4\sqrt{3}-7+4\sqrt{3}$$

Zbrit 7 nga 7 për të marrë 0.

$$4\sqrt{3}+4\sqrt{3}$$

Kombino 4\sqrt{3} dhe 4\sqrt{3} për të marrë 8\sqrt{3}.

$$8\sqrt{3}$$