Zgjidh x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

Gjej x, y

$$x=14$$

$$y=9$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 21, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 7,3.

$$3x+7y=105$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 14.

$$-x+42y=364$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3x+7y=105$$

Zbrit 7y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=-7y+105$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë -7y+105.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

Zëvendëso x me -\frac{7y}{3}+35 në ekuacionin tjetër, -x+42y=364.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

Shumëzo -1 herë -\frac{7y}{3}+35.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

Mblidh \frac{7y}{3} me 42y.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

Mblidh 35 në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{133}{3}y=399$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{133}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=9$$

Zëvendëso y me 9 në x=-\frac{7}{3}y+35. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

Shumëzo -\frac{7}{3} herë 9.

$$x=-21+35$$

Mblidh 35 me -21.

$$x=14$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=14,y=9$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 21, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 7,3.

$$3x+7y=105$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 14.

$$-x+42y=364$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=14,y=9$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 21, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 7,3.

$$3x+7y=105$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 14.

$$-x+42y=364$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Për ta bërë 3x të barabartë me -x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 3.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

Thjeshto.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

Zbrit -3x+126y=1092 nga -3x-7y=-105 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

Mblidh -3x me 3x. Shprehjet -3x dhe 3x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-7y-126y=-105-1092$$

Mblidh -7y me -126y.

$$-133y=-105-1092$$

Mblidh -105 me -1092.

$$-133y=-1197$$

Pjesëto të dyja anët me -133.

$$y=9$$

Zëvendëso y me 9 në -x+42y=364. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-x+42\times 9=364$$

Shumëzo 42 herë 9.

$$-x+378=364$$

Zbrit 378 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-x=-14$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=14$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=14,y=9$$