Zgjidh x/5=y/4;y/3=x/3-1

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ; \frac { y } { 3 } = \frac { x } { 3 } - 1$$

Gjej x, y

$$x=15$$

$$y=12$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 20, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5,4.

$$4x=5y$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

Shumëzo \frac{1}{4} herë 5y.

$$x=\frac{5}{4}y$$

Zëvendëso x me \frac{5y}{4} në ekuacionin tjetër, -x+y=-3.

$$-\frac{5}{4}y+y=-3$$

Mblidh -\frac{5y}{4} me y.

$$-\frac{1}{4}y=-3$$

Shumëzo të dyja anët me -4.

$$y=12$$

Zëvendëso y me 12 në x=\frac{5}{4}y. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{5}{4}\times 12$$

Shumëzo \frac{5}{4} herë 12.

$$x=15$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=15,y=12$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 20, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5,4.

$$4x=5y$$

Zbrit 5y nga të dyja anët.

$$4x-5y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3.

$$y=x-3$$

Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=-3$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-5\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-3\right)\\-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=15,y=12$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 20, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5,4.

$$4x=5y$$

Zbrit 5y nga të dyja anët.

$$4x-5y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3.

$$y=x-3$$

Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=-3$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Për ta bërë 4x të barabartë me -x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 4.

$$-4x-\left(-5y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

Thjeshto.

$$-4x+5y=0,-4x+4y=-12$$

Zbrit -4x+4y=-12 nga -4x+5y=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-4x+4x+5y-4y=12$$

Mblidh -4x me 4x. Shprehjet -4x dhe 4x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$5y-4y=12$$

Mblidh 5y me -4y.

$$y=12$$

Zëvendëso y me 12 në -x+y=-3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-x+12=-3$$

Zbrit 12 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-x=-15$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=15$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=15,y=12$$