Zgjidh x^2-2/x^2+x-2+3x+2/x^2-4=1-x+2/x^2-3x+2

$$\frac { x ^ { 2 } - 2 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 3 x + 2 } { x ^ { 2 } - 4 } = 1 - \frac { x + 2 } { x ^ { 2 } - 3 x + 2 }$$

Gjej x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=-1$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Ndryshorja x nuk mund të jetë e barabartë me asnjërën prej vlerave -2,1,2 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right), shumëfishin më të vogël të përbashkët të x^{2}+x-2,x^{2}-4,x^{2}-3x+2.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)\left(x+2\right)$$

Shumëzo x+2 me x+2 për të marrë \left(x+2\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar x-2 me x^{2}-2.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar x-1 me 3x+2 dhe kombino kufizat e ngjashme.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+3x^{2}-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Kombino -2x^{2} dhe 3x^{2} për të marrë x^{2}.

$$x^{3}-2x+x^{2}+4-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Kombino -2x dhe -x për të marrë -3x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+4-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Zbrit 2 nga 4 për të marrë 2.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar x-2 me x-1 dhe kombino kufizat e ngjashme.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x^{2}-3x+2\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar x^{2}-3x+2 me x+2 dhe kombino kufizat e ngjashme.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x+2\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x^{2}+4x+4\right)$$

Për të gjetur të kundërtën e x^{2}+4x+4, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-x^{2}-4x-4$$

Kombino -x^{2} dhe -x^{2} për të marrë -2x^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-4x+4-4x-4$$

Kombino -4x dhe -4x për të marrë -8x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x+4-4$$

Zbrit 4 nga 4 për të marrë 0.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x$$

Zbrit x^{3} nga të dyja anët.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2-x^{3}=-2x^{2}-8x$$

Kombino x^{3} dhe -x^{3} për të marrë 0.

$$-3x+x^{2}+2=-2x^{2}-8x$$

Shto 2x^{2} në të dyja anët.

$$-3x+x^{2}+2+2x^{2}=-8x$$

Kombino x^{2} dhe 2x^{2} për të marrë 3x^{2}.

$$-3x+3x^{2}+2=-8x$$

Shto 8x në të dyja anët.

$$-3x+3x^{2}+2+8x=0$$

Kombino -3x dhe 8x për të marrë 5x.

$$5x+3x^{2}+2=0$$

Risistemo polinomin për ta vendosur në formën standarde. Renditi kufizat nga fuqia më e madhe tek ajo më e vogël.

$$3x^{2}+5x+2=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 3x^{2}+ax+bx+2. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=5 ab=3\times 2=6$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është pozitive, a dhe b janë të dyja pozitive. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 6.

$$1,6 2,3$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1+6=7 2+3=5$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 5.

$$a=2 b=3$$

Rishkruaj 3x^{2}+5x+2 si \left(3x^{2}+2x\right)+\left(3x+2\right).

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(3x+2\right)$$

Faktorizo x në 3x^{2}+2x.

$$x\left(3x+2\right)+3x+2$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 3x+2 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(3x+2\right)\left(x+1\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 3x+2=0 dhe x+1=0.

$$x=-\frac{2}{3} x=-1$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Ndryshorja x nuk mund të jetë e barabartë me asnjërën prej vlerave -2,1,2 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right), shumëfishin më të vogël të përbashkët të x^{2}+x-2,x^{2}-4,x^{2}-3x+2.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)\left(x+2\right)$$

Shumëzo x+2 me x+2 për të marrë \left(x+2\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar x-2 me x^{2}-2.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar x-1 me 3x+2 dhe kombino kufizat e ngjashme.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+3x^{2}-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Kombino -2x^{2} dhe 3x^{2} për të marrë x^{2}.

$$x^{3}-2x+x^{2}+4-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Kombino -2x dhe -x për të marrë -3x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+4-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Zbrit 2 nga 4 për të marrë 2.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar x-2 me x-1 dhe kombino kufizat e ngjashme.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x^{2}-3x+2\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar x^{2}-3x+2 me x+2 dhe kombino kufizat e ngjashme.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x+2\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x^{2}+4x+4\right)$$

Për të gjetur të kundërtën e x^{2}+4x+4, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-x^{2}-4x-4$$

Kombino -x^{2} dhe -x^{2} për të marrë -2x^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-4x+4-4x-4$$

Kombino -4x dhe -4x për të marrë -8x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x+4-4$$

Zbrit 4 nga 4 për të marrë 0.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x$$

Zbrit x^{3} nga të dyja anët.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2-x^{3}=-2x^{2}-8x$$

Kombino x^{3} dhe -x^{3} për të marrë 0.

$$-3x+x^{2}+2=-2x^{2}-8x$$

Shto 2x^{2} në të dyja anët.

$$-3x+x^{2}+2+2x^{2}=-8x$$

Kombino x^{2} dhe 2x^{2} për të marrë 3x^{2}.

$$-3x+3x^{2}+2=-8x$$

Shto 8x në të dyja anët.

$$-3x+3x^{2}+2+8x=0$$

Kombino -3x dhe 8x për të marrë 5x.

$$5x+3x^{2}+2=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$3x^{2}+5x+2=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 3, b me 5 dhe c me 2 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Ngri në fuqi të dytë 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Shumëzo -4 herë 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\times 2}}{2\times 3}$$

Shumëzo -12 herë 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24}}{2\times 3}$$

Mblidh 25 me -24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

Gjej rrënjën katrore të 1.

$$x=\frac{-5±1}{2\times 3}$$

Shumëzo 2 herë 3.

$$x=\frac{-5±1}{6}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-5±1}{6} kur ± është plus. Mblidh -5 me 1.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Thjeshto thyesën \frac{-4}{6} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-5±1}{6} kur ± është minus. Zbrit 1 nga -5.

$$x=-\frac{6}{6}$$

Pjesëto -6 me 6.

$$x=-1$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{2}{3} x=-1$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ndryshorja x nuk mund të jetë e barabartë me asnjërën prej vlerave -2,1,2 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right), shumëfishin më të vogël të përbashkët të x^{2}+x-2,x^{2}-4,x^{2}-3x+2.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)\left(x+2\right)$$

Shumëzo x+2 me x+2 për të marrë \left(x+2\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar x-2 me x^{2}-2.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar x-1 me 3x+2 dhe kombino kufizat e ngjashme.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+3x^{2}-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Kombino -2x^{2} dhe 3x^{2} për të marrë x^{2}.

$$x^{3}-2x+x^{2}+4-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Kombino -2x dhe -x për të marrë -3x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+4-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Zbrit 2 nga 4 për të marrë 2.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar x-2 me x-1 dhe kombino kufizat e ngjashme.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x^{2}-3x+2\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar x^{2}-3x+2 me x+2 dhe kombino kufizat e ngjashme.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x+2\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x^{2}+4x+4\right)$$

Për të gjetur të kundërtën e x^{2}+4x+4, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-x^{2}-4x-4$$

Kombino -x^{2} dhe -x^{2} për të marrë -2x^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-4x+4-4x-4$$

Kombino -4x dhe -4x për të marrë -8x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x+4-4$$

Zbrit 4 nga 4 për të marrë 0.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x$$

Zbrit x^{3} nga të dyja anët.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2-x^{3}=-2x^{2}-8x$$

Kombino x^{3} dhe -x^{3} për të marrë 0.

$$-3x+x^{2}+2=-2x^{2}-8x$$

Shto 2x^{2} në të dyja anët.

$$-3x+x^{2}+2+2x^{2}=-8x$$

Kombino x^{2} dhe 2x^{2} për të marrë 3x^{2}.

$$-3x+3x^{2}+2=-8x$$

Shto 8x në të dyja anët.

$$-3x+3x^{2}+2+8x=0$$

Kombino -3x dhe 8x për të marrë 5x.

$$5x+3x^{2}+2=0$$

Zbrit 2 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$5x+3x^{2}=-2$$

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x=-2$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=-\frac{2}{3}$$

Pjesëtimi me 3 zhbën shumëzimin me 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-\frac{2}{3}$$

Pjesëto \frac{5}{3}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{5}{6}. Më pas mblidh katrorin e \frac{5}{6} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{2}{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{5}{6} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{2}{3}+\frac{25}{36}$$

Mblidh -\frac{2}{3} me \frac{25}{36} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1}{36}$$

Faktori x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Thjeshto.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{1}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{1}{6}$$

Zbrit \frac{5}{6} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-\frac{2}{3} x=-1$$