Zgjidh f/11=g/33text{siendo}f+g=40

$$\frac { f } { 11 } = \frac { g } { 33 } \text { siendo } f + g = 40$$

Gjej f, g

$$f=10$$

$$g=30$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 33, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 11,33.

$$3f=g$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$f=\frac{1}{3}g$$

Zëvendëso f me \frac{g}{3} në ekuacionin tjetër, f+g=40.

$$\frac{1}{3}g+g=40$$

Mblidh \frac{g}{3} me g.

$$\frac{4}{3}g=40$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{4}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$g=30$$

Zëvendëso g me 30 në f=\frac{1}{3}g. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh f menjëherë.

$$f=\frac{1}{3}\times 30$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë 30.

$$f=10$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$f=10,g=30$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 33, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 11,33.

$$3f=g$$

Zbrit g nga të dyja anët.

$$3f-g=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 40\\\frac{3}{4}\times 40\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës f dhe g.

$$f=10,g=30$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 33, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 11,33.

$$3f=g$$

Zbrit g nga të dyja anët.

$$3f-g=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Për ta bërë 3f të barabartë me f, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 3.

$$3f-g=0,3f+3g=3\times 40$$

Thjeshto.

$$3f-g=0,3f+3g=120$$

Zbrit 3f+3g=120 nga 3f-g=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$3f-3f-g-3g=-120$$

Mblidh 3f me -3f. Shprehjet 3f dhe -3f thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-g-3g=-120$$

Mblidh -g me -3g.

$$-4g=-120$$

Pjesëto të dyja anët me -4.

$$g=30$$

Zëvendëso g me 30 në f+g=40. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh f menjëherë.

$$f+30=40$$

Zbrit 30 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$f=10$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$f=10,g=30$$