Zgjidh frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}

$$\frac { 2 + \sqrt { 5 } } { 2 - \sqrt { 5 } }$$

Vlerëso

$$-4\sqrt{5}-9\approx -17.94427191$$

Hapat e zgjidhjes

Racionalizo emëruesin e \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin me 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}$$

Merr parasysh \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). Shumëzimi mund të shndërrohet në diferencë të katrorëve duke përdorur rregullën: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Ngri në fuqi të dytë 2. Ngri në fuqi të dytë \sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}$$

Zbrit 5 nga 4 për të marrë -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}$$

Shumëzo 2+\sqrt{5} me 2+\sqrt{5} për të marrë \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

Katrori i \sqrt{5} është 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}$$

Shto 4 dhe 5 për të marrë 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}$$

Çdo numër i pjesëtuar me -1 jep të kundërtën e atij numri. Për të gjetur të kundërtën e 9+4\sqrt{5}, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$-9-4\sqrt{5}$$