Zgjidh 1/x^2+x-2+1/x^2+7x+10+1/x^2+13x+40=1/3x-3-frac{1}{21}

$$\frac { 1 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 7 x + 10 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 13 x + 40 } = \frac { 1 } { 3 x - 3 } - \frac { 1 } { 21 }$$

Gjej x

$$x=-1$$

Hapat e zgjidhjes

Ndryshorja x nuk mund të jetë e barabartë me asnjërën prej vlerave -8,-5,-2,1 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right), shumëfishin më të vogël të përbashkët të x^{2}+x-2,x^{2}+7x+10,x^{2}+13x+40,3x-3,21.

$$21\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 21 me x+5.

$$\left(21x+105\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 21x+105 me x+8 dhe kombino kufizat e ngjashme.

$$21x^{2}+273x+840+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 21 me x-1.

$$21x^{2}+273x+840+\left(21x-21\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 21x-21 me x+8 dhe kombino kufizat e ngjashme.

$$21x^{2}+273x+840+21x^{2}+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Kombino 21x^{2} dhe 21x^{2} për të marrë 42x^{2}.

$$42x^{2}+273x+840+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Kombino 273x dhe 147x për të marrë 420x.

$$42x^{2}+420x+840-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Zbrit 168 nga 840 për të marrë 672.

$$42x^{2}+420x+672+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 21 me x+2.

$$42x^{2}+420x+672+\left(21x+42\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 21x+42 me x-1 dhe kombino kufizat e ngjashme.

$$42x^{2}+420x+672+21x^{2}+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Kombino 42x^{2} dhe 21x^{2} për të marrë 63x^{2}.

$$63x^{2}+420x+672+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Kombino 420x dhe 21x për të marrë 441x.

$$63x^{2}+441x+672-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Zbrit 42 nga 672 për të marrë 630.

$$63x^{2}+441x+630=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 7 me x+2.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x+14\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 7x+14 me x+5 dhe kombino kufizat e ngjashme.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x^{2}+49x+70\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 7x^{2}+49x+70 me x+8 dhe kombino kufizat e ngjashme.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Shumëzo 21 me -\frac{1}{21} për të marrë -1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -1 me x-1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -x+1 me x+2 dhe kombino kufizat e ngjashme.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{2}-x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -x^{2}-x+2 me x+5 dhe kombino kufizat e ngjashme.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{3}-6x^{2}-3x+10\right)\left(x+8\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -x^{3}-6x^{2}-3x+10 me x+8 dhe kombino kufizat e ngjashme.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-14x^{3}-51x^{2}-14x+80$$

Kombino 7x^{3} dhe -14x^{3} për të marrë -7x^{3}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-51x^{2}-14x+80$$

Kombino 105x^{2} dhe -51x^{2} për të marrë 54x^{2}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+462x+560-x^{4}-14x+80$$

Kombino 462x dhe -14x për të marrë 448x.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+560-x^{4}+80$$

Shto 560 dhe 80 për të marrë 640.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Shto 7x^{3} në të dyja anët.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}=54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Zbrit 54x^{2} nga të dyja anët.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}-54x^{2}=448x+640-x^{4}$$

Kombino 63x^{2} dhe -54x^{2} për të marrë 9x^{2}.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}=448x+640-x^{4}$$

Zbrit 448x nga të dyja anët.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}-448x=640-x^{4}$$

Kombino 441x dhe -448x për të marrë -7x.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}=640-x^{4}$$

Zbrit 640 nga të dyja anët.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}-640=-x^{4}$$

Zbrit 640 nga 630 për të marrë -10.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}=-x^{4}$$

Shto x^{4} në të dyja anët.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}+x^{4}=0$$

Risistemo ekuacionin për ta vendosur në formën standarde. Vendosi kufizat të renditura nga fuqia më e madhe tek ajo më e vogël.

$$x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10=0$$

Sipas teoremës së rrënjëve racionale, të gjitha rrënjët racionale të një polinomi janë në formën \frac{p}{q}, ku p pjesëtohet me kufizën konstante -10 dhe q pjesëtohet me koeficientin kryesor 1. Lista e të gjithë kandidatëve \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Gjej një rrënjë të tillë duke provuar të gjitha vlerat me numra të plotë, duke filluar nga vlera më e vogël sipas vlerës absolute. Nëse nuk gjendet asnjë rrënjë e plotë, provo thyesat.

$$x=1$$

Sipas teoremës së faktorëve, x-k është një faktor i polinomit për çdo rrënjë k. Pjesëto x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10 me x-1 për të marrë x^{3}+8x^{2}+17x+10. Zgjidh ekuacionin ku rezultati është i barabartë me 0.

$$x^{3}+8x^{2}+17x+10=0$$

Sipas teoremës së rrënjëve racionale, të gjitha rrënjët racionale të një polinomi janë në formën \frac{p}{q}, ku p pjesëtohet me kufizën konstante 10 dhe q pjesëtohet me koeficientin kryesor 1. Lista e të gjithë kandidatëve \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Gjej një rrënjë të tillë duke provuar të gjitha vlerat me numra të plotë, duke filluar nga vlera më e vogël sipas vlerës absolute. Nëse nuk gjendet asnjë rrënjë e plotë, provo thyesat.

$$x=-1$$

Sipas teoremës së faktorëve, x-k është një faktor i polinomit për çdo rrënjë k. Pjesëto x^{3}+8x^{2}+17x+10 me x+1 për të marrë x^{2}+7x+10. Zgjidh ekuacionin ku rezultati është i barabartë me 0.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zëvendëso 1 për a, 7 për b dhe 10 për c në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

Bëj llogaritjet.

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

Zgjidh ekuacionin x^{2}+7x+10=0 kur ± është plus dhe kur ± është minus.

$$x=-5 x=-2$$

Hiq vlerat me të cilat ndryshorja s'mund të jetë e barabartë.

$$x=-1$$

Listo të gjitha zgjidhjet e gjetura.

$$x=1 x=-1 x=-5 x=-2$$

Ndryshorja x nuk mund të jetë e barabartë me asnjërën prej vlerave 1,-5,-2.

$$x=-1$$