Zgjidh =20x^4+31x^2-9

$$= 20 x ^ { 4 } + 31 x ^ { 2 } - 9$$

Faktorizo

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

Hapat e zgjidhjes

Për të faktorizuar shprehjen, zgjidh ekuacionin ku është i barabartë me 0.

$$20x^{4}+31x^{2}-9=0$$

Sipas teoremës së rrënjëve racionale, të gjitha rrënjët racionale të një polinomi janë në formën \frac{p}{q}, ku p pjesëtohet me kufizën konstante -9 dhe q pjesëtohet me koeficientin kryesor 20. Lista e të gjithë kandidatëve \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{20},±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{20},±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{20},±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Gjej një rrënjë të tillë duke provuar të gjitha vlerat me numra të plotë, duke filluar nga vlera më e vogël sipas vlerës absolute. Nëse nuk gjendet asnjë rrënjë e plotë, provo thyesat.

$$x=\frac{1}{2}$$

Sipas teoremës së faktorëve, x-k është një faktor i polinomit për çdo rrënjë k. Pjesëto 20x^{4}+31x^{2}-9 me 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 për të marrë 10x^{3}+5x^{2}+18x+9. Për të faktorizuar rezultatin, zgjidh ekuacionin ku është i barabartë me 0.

$$10x^{3}+5x^{2}+18x+9=0$$

Sipas teoremës së rrënjëve racionale, të gjitha rrënjët racionale të një polinomi janë në formën \frac{p}{q}, ku p pjesëtohet me kufizën konstante 9 dhe q pjesëtohet me koeficientin kryesor 10. Lista e të gjithë kandidatëve \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{2},±1$$

Gjej një rrënjë të tillë duke provuar të gjitha vlerat me numra të plotë, duke filluar nga vlera më e vogël sipas vlerës absolute. Nëse nuk gjendet asnjë rrënjë e plotë, provo thyesat.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Sipas teoremës së faktorëve, x-k është një faktor i polinomit për çdo rrënjë k. Pjesëto 10x^{3}+5x^{2}+18x+9 me 2\left(x+\frac{1}{2}\right)=2x+1 për të marrë 5x^{2}+9. Për të faktorizuar rezultatin, zgjidh ekuacionin ku është i barabartë me 0.

$$5x^{2}+9=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zëvendëso 5 për a, 0 për b dhe 9 për c në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Bëj llogaritjet.

$$x=\frac{0±\sqrt{-180}}{10}$$

Polinomi 5x^{2}+9 nuk është faktorizuar pasi nuk ka asnjë rrënjë racionale.

$$5x^{2}+9$$

Rishkruaj shprehjen e faktorizuar duke përdorur rrënjët e përfituara.

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

Vlerëso

$$20x^{4}+31x^{2}-9$$