Vyriešiť z^2+2/5z+1=0

$$z ^ { 2 } + \frac { 2 } { 5 } z + 1 = 0$$

Riešenie pre z

$$z=\frac{-1+2\sqrt{6}i}{5}\approx -0,2+0,979795897i$$

$$z=\frac{-2\sqrt{6}i-1}{5}\approx -0,2-0,979795897i$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+1=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 1 za a, \frac{2}{5} za b a 1 za c.

$$z=\frac{-\frac{2}{5}±\sqrt{\left(\frac{2}{5}\right)^{2}-4}}{2}$$

Umocnite zlomok \frac{2}{5} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$z=\frac{-\frac{2}{5}±\sqrt{\frac{4}{25}-4}}{2}$$

Prirátajte \frac{4}{25} ku -4.

$$z=\frac{-\frac{2}{5}±\sqrt{-\frac{96}{25}}}{2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla -\frac{96}{25}.

$$z=\frac{-\frac{2}{5}±\frac{4\sqrt{6}i}{5}}{2}$$

Vyriešte rovnicu z=\frac{-\frac{2}{5}±\frac{4\sqrt{6}i}{5}}{2}, keď ± je plus. Prirátajte -\frac{2}{5} ku \frac{4i\sqrt{6}}{5}.

$$z=\frac{-2+4\sqrt{6}i}{2\times 5}$$

Vydeľte číslo \frac{-2+4i\sqrt{6}}{5} číslom 2.

$$z=\frac{-1+2\sqrt{6}i}{5}$$

Vyriešte rovnicu z=\frac{-\frac{2}{5}±\frac{4\sqrt{6}i}{5}}{2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo \frac{4i\sqrt{6}}{5} od čísla -\frac{2}{5}.

$$z=\frac{-4\sqrt{6}i-2}{2\times 5}$$

Vydeľte číslo \frac{-2-4i\sqrt{6}}{5} číslom 2.

$$z=\frac{-2\sqrt{6}i-1}{5}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$z=\frac{-1+2\sqrt{6}i}{5} z=\frac{-2\sqrt{6}i-1}{5}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+1=0$$

Odčítajte hodnotu 1 od oboch strán rovnice.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+1-1=-1$$

Výsledkom odčítania čísla 1 od seba samého bude 0.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z=-1$$

Číslo \frac{2}{5}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{1}{5}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{1}{5}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{1}{5} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+\frac{1}{25}=-1+\frac{1}{25}$$

Prirátajte -1 ku \frac{1}{25}.

$$z^{2}+\frac{2}{5}z+\frac{1}{25}=-\frac{24}{25}$$

Rozložte z^{2}+\frac{2}{5}z+\frac{1}{25} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{24}{25}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(z+\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{24}{25}}$$

Zjednodušte.

$$z+\frac{1}{5}=\frac{2\sqrt{6}i}{5} z+\frac{1}{5}=-\frac{2\sqrt{6}i}{5}$$

Odčítajte hodnotu \frac{1}{5} od oboch strán rovnice.

$$z=\frac{-1+2\sqrt{6}i}{5} z=\frac{-2\sqrt{6}i-1}{5}$$