Vyriešiť y=x-9;quady=5-x

$$y = x - 9 ; \quad y = 5 - x$$

Riešenie pre y,x

$$x=7$$

$$y=-2$$

Postup použitia dosadenia

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte x z oboch strán.

$$y-x=-9$$

Zvážte druhú rovnicu. Pridať položku x na obidve snímky.

$$y+x=5$$

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$y-x=-9,y+x=5$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej y tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú y.

$$y-x=-9$$

Prirátajte x ku obom stranám rovnice.

$$y=x-9$$

Dosaďte x-9 za y v druhej rovnici y+x=5.

$$x-9+x=5$$

Prirátajte x ku x.

$$2x-9=5$$

Prirátajte 9 ku obom stranám rovnice.

$$2x=14$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$x=7$$

V rovnici y=x-9 dosaďte x za premennú 7. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej y vypočítať priamo.

$$y=7-9$$

Prirátajte -9 ku 7.

$$y=-2$$

Systém je vyriešený.

$$y=-2,x=7$$

Postup použitia matíc

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte x z oboch strán.

$$y-x=-9$$

Zvážte druhú rovnicu. Pridať položku x na obidve snímky.

$$y+x=5$$

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$y-x=-9,y+x=5$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{1}{2}\times 5\\-\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice y a x.

$$y=-2,x=7$$

Postup použitia eliminácie

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte x z oboch strán.

$$y-x=-9$$

Zvážte druhú rovnicu. Pridať položku x na obidve snímky.

$$y+x=5$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$y-x=-9,y+x=5$$

Odčítajte rovnicu y+x=5 od rovnice y-x=-9 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$y-y-x-x=-9-5$$

Prirátajte y ku -y. Členy y a -y sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$-x-x=-9-5$$

Prirátajte -x ku -x.

$$-2x=-9-5$$

Prirátajte -9 ku -5.

$$-2x=-14$$

Vydeľte obe strany hodnotou -2.

$$x=7$$

V rovnici y+x=5 dosaďte x za premennú 7. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej y vypočítať priamo.

$$y+7=5$$

Odčítajte hodnotu 7 od oboch strán rovnice.

$$y=-2$$

Systém je vyriešený.

$$y=-2,x=7$$