Vyriešiť y=x+5;quady=3-x

$$y = x + 5 ; \quad y = 3 - x$$

Riešenie pre y,x

$$x=-1$$

$$y=4$$

Postup použitia dosadenia

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte x z oboch strán.

$$y-x=5$$

Zvážte druhú rovnicu. Pridať položku x na obidve snímky.

$$y+x=3$$

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$y-x=5,y+x=3$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej y tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú y.

$$y-x=5$$

Prirátajte x ku obom stranám rovnice.

$$y=x+5$$

Dosaďte x+5 za y v druhej rovnici y+x=3.

$$x+5+x=3$$

Prirátajte x ku x.

$$2x+5=3$$

Odčítajte hodnotu 5 od oboch strán rovnice.

$$2x=-2$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$x=-1$$

V rovnici y=x+5 dosaďte x za premennú -1. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej y vypočítať priamo.

$$y=-1+5$$

Prirátajte 5 ku -1.

$$y=4$$

Systém je vyriešený.

$$y=4,x=-1$$

Postup použitia matíc

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte x z oboch strán.

$$y-x=5$$

Zvážte druhú rovnicu. Pridať položku x na obidve snímky.

$$y+x=3$$

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$y-x=5,y+x=3$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice y a x.

$$y=4,x=-1$$

Postup použitia eliminácie

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte x z oboch strán.

$$y-x=5$$

Zvážte druhú rovnicu. Pridať položku x na obidve snímky.

$$y+x=3$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$y-x=5,y+x=3$$

Odčítajte rovnicu y+x=3 od rovnice y-x=5 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$y-y-x-x=5-3$$

Prirátajte y ku -y. Členy y a -y sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$-x-x=5-3$$

Prirátajte -x ku -x.

$$-2x=5-3$$

Prirátajte 5 ku -3.

$$-2x=2$$

Vydeľte obe strany hodnotou -2.

$$x=-1$$

V rovnici y+x=3 dosaďte x za premennú -1. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej y vypočítať priamo.

$$y-1=3$$

Prirátajte 1 ku obom stranám rovnice.

$$y=4$$

Systém je vyriešený.

$$y=4,x=-1$$