Vyriešiť y=2x-1text{and}2x+y=3

$$y = 2 x - 1 \text { and } 2 x + y = 3$$

Riešenie pre y,x

$$x=1$$

$$y=1$$

Postup použitia dosadenia

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte 2x z oboch strán.

$$y-2x=-1$$

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej y tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú y.

$$y-2x=-1$$

Prirátajte 2x ku obom stranám rovnice.

$$y=2x-1$$

Dosaďte 2x-1 za y v druhej rovnici y+2x=3.

$$2x-1+2x=3$$

Prirátajte 2x ku 2x.

$$4x-1=3$$

Prirátajte 1 ku obom stranám rovnice.

$$4x=4$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$x=1$$

V rovnici y=2x-1 dosaďte x za premennú 1. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej y vypočítať priamo.

$$y=2-1$$

Prirátajte -1 ku 2.

$$y=1$$

Systém je vyriešený.

$$y=1,x=1$$

Postup použitia matíc

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte 2x z oboch strán.

$$y-2x=-1$$

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice y a x.

$$y=1,x=1$$

Postup použitia eliminácie

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte 2x z oboch strán.

$$y-2x=-1$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Odčítajte rovnicu y+2x=3 od rovnice y-2x=-1 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$y-y-2x-2x=-1-3$$

Prirátajte y ku -y. Členy y a -y sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$-2x-2x=-1-3$$

Prirátajte -2x ku -2x.

$$-4x=-1-3$$

Prirátajte -1 ku -3.

$$-4x=-4$$

Vydeľte obe strany hodnotou -4.

$$x=1$$

V rovnici y+2x=3 dosaďte x za premennú 1. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej y vypočítať priamo.

$$y+2=3$$

Odčítajte hodnotu 2 od oboch strán rovnice.

$$y=1$$

Systém je vyriešený.

$$y=1,x=1$$