Vyriešiť y=2x+3quadtext{y}quadx=2y+3

$$y = 2 x + 3 \quad \text { y } \quad x = 2 y + 3$$

Riešenie pre y,x

$$x=-3$$

$$y=-3$$

Postup použitia dosadenia

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte 2x z oboch strán.

$$y-2x=3$$

Zvážte druhú rovnicu. Odčítajte 2y z oboch strán.

$$x-2y=3$$

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$y-2x=3,-2y+x=3$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej y tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú y.

$$y-2x=3$$

Prirátajte 2x ku obom stranám rovnice.

$$y=2x+3$$

Dosaďte 2x+3 za y v druhej rovnici -2y+x=3.

$$-2\left(2x+3\right)+x=3$$

Vynásobte číslo -2 číslom 2x+3.

$$-4x-6+x=3$$

Prirátajte -4x ku x.

$$-3x-6=3$$

Prirátajte 6 ku obom stranám rovnice.

$$-3x=9$$

Vydeľte obe strany hodnotou -3.

$$x=-3$$

V rovnici y=2x+3 dosaďte x za premennú -3. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej y vypočítať priamo.

$$y=2\left(-3\right)+3$$

Vynásobte číslo 2 číslom -3.

$$y=-6+3$$

Prirátajte 3 ku -6.

$$y=-3$$

Systém je vyriešený.

$$y=-3,x=-3$$

Postup použitia matíc

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte 2x z oboch strán.

$$y-2x=3$$

Zvážte druhú rovnicu. Odčítajte 2y z oboch strán.

$$x-2y=3$$

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$y-2x=3,-2y+x=3$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 3-\frac{2}{3}\times 3\\-\frac{2}{3}\times 3-\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice y a x.

$$y=-3,x=-3$$

Postup použitia eliminácie

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte 2x z oboch strán.

$$y-2x=3$$

Zvážte druhú rovnicu. Odčítajte 2y z oboch strán.

$$x-2y=3$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$y-2x=3,-2y+x=3$$

Ak chcete, aby boli členy y a -2y rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom -2 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 1.

$$-2y-2\left(-2\right)x=-2\times 3,-2y+x=3$$

Zjednodušte.

$$-2y+4x=-6,-2y+x=3$$

Odčítajte rovnicu -2y+x=3 od rovnice -2y+4x=-6 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$-2y+2y+4x-x=-6-3$$

Prirátajte -2y ku 2y. Členy -2y a 2y sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$4x-x=-6-3$$

Prirátajte 4x ku -x.

$$3x=-6-3$$

Prirátajte -6 ku -3.

$$3x=-9$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$x=-3$$

V rovnici -2y+x=3 dosaďte x za premennú -3. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej y vypočítať priamo.

$$-2y-3=3$$

Prirátajte 3 ku obom stranám rovnice.

$$-2y=6$$

Vydeľte obe strany hodnotou -2.

$$y=-3$$

Systém je vyriešený.

$$y=-3,x=-3$$