Vyriešiť y=2x+1text{and}x+y=7

$$y = 2 x + 1 \text { and } x + y = 7$$

Riešenie pre y,x

$$x=2$$

$$y=5$$

Postup použitia dosadenia

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte 2x z oboch strán.

$$y-2x=1$$

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej y tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú y.

$$y-2x=1$$

Prirátajte 2x ku obom stranám rovnice.

$$y=2x+1$$

Dosaďte 2x+1 za y v druhej rovnici y+x=7.

$$2x+1+x=7$$

Prirátajte 2x ku x.

$$3x+1=7$$

Odčítajte hodnotu 1 od oboch strán rovnice.

$$3x=6$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$x=2$$

V rovnici y=2x+1 dosaďte x za premennú 2. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej y vypočítať priamo.

$$y=2\times 2+1$$

Vynásobte číslo 2 číslom 2.

$$y=4+1$$

Prirátajte 1 ku 4.

$$y=5$$

Systém je vyriešený.

$$y=5,x=2$$

Postup použitia matíc

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte 2x z oboch strán.

$$y-2x=1$$

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 7\\-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice y a x.

$$y=5,x=2$$

Postup použitia eliminácie

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte 2x z oboch strán.

$$y-2x=1$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Odčítajte rovnicu y+x=7 od rovnice y-2x=1 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$y-y-2x-x=1-7$$

Prirátajte y ku -y. Členy y a -y sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$-2x-x=1-7$$

Prirátajte -2x ku -x.

$$-3x=1-7$$

Prirátajte 1 ku -7.

$$-3x=-6$$

Vydeľte obe strany hodnotou -3.

$$x=2$$

V rovnici y+x=7 dosaďte x za premennú 2. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej y vypočítať priamo.

$$y+2=7$$

Odčítajte hodnotu 2 od oboch strán rovnice.

$$y=5$$

Systém je vyriešený.

$$y=5,x=2$$