Vyriešiť y=4/3x-28/3;quady=2x+8

$$y = \frac { 4 } { 3 } x - \frac { 28 } { 3 } ; \quad y = 2 x + 8$$

Riešenie pre y,x

$$x=-26$$

$$y=-44$$

Postup použitia dosadenia

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte \frac{4}{3}x z oboch strán.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Zvážte druhú rovnicu. Odčítajte 2x z oboch strán.

$$y-2x=8$$

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej y tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú y.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Prirátajte \frac{4x}{3} ku obom stranám rovnice.

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}$$

Dosaďte \frac{-28+4x}{3} za y v druhej rovnici y-2x=8.

$$\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}-2x=8$$

Prirátajte \frac{4x}{3} ku -2x.

$$-\frac{2}{3}x-\frac{28}{3}=8$$

Prirátajte \frac{28}{3} ku obom stranám rovnice.

$$-\frac{2}{3}x=\frac{52}{3}$$

Vydeľte obe strany rovnice hodnotou -\frac{2}{3}, čo je to isté ako pri vynásobení oboch strán prevráteným zlomkom.

$$x=-26$$

V rovnici y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3} dosaďte x za premennú -26. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej y vypočítať priamo.

$$y=\frac{4}{3}\left(-26\right)-\frac{28}{3}$$

Vynásobte číslo \frac{4}{3} číslom -26.

$$y=\frac{-104-28}{3}$$

Prirátajte -\frac{28}{3} ku -\frac{104}{3} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$y=-44$$

Systém je vyriešený.

$$y=-44,x=-26$$

Postup použitia matíc

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte \frac{4}{3}x z oboch strán.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Zvážte druhú rovnicu. Odčítajte 2x z oboch strán.

$$y-2x=8$$

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&-\frac{-\frac{4}{3}}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\\frac{3}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\left(-\frac{28}{3}\right)-2\times 8\\\frac{3}{2}\left(-\frac{28}{3}\right)-\frac{3}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-44\\-26\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice y a x.

$$y=-44,x=-26$$

Postup použitia eliminácie

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte \frac{4}{3}x z oboch strán.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Zvážte druhú rovnicu. Odčítajte 2x z oboch strán.

$$y-2x=8$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Odčítajte rovnicu y-2x=8 od rovnice y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3} tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$y-y-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Prirátajte y ku -y. Členy y a -y sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Prirátajte -\frac{4x}{3} ku 2x.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{28}{3}-8$$

Prirátajte -\frac{28}{3} ku -8.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{52}{3}$$

Vydeľte obe strany rovnice hodnotou \frac{2}{3}, čo je to isté ako pri vynásobení oboch strán prevráteným zlomkom.

$$x=-26$$

V rovnici y-2x=8 dosaďte x za premennú -26. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej y vypočítať priamo.

$$y-2\left(-26\right)=8$$

Vynásobte číslo -2 číslom -26.

$$y+52=8$$

Odčítajte hodnotu 52 od oboch strán rovnice.

$$y=-44$$

Systém je vyriešený.

$$y=-44,x=-26$$