Vyriešiť y=1/3x;quady=60-3x

$$y = \frac { 1 } { 3 } x ; \quad y = 60 - 3 x$$

Riešenie pre y,x

$$x=18$$

$$y=6$$

Postup použitia dosadenia

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte \frac{1}{3}x z oboch strán.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Zvážte druhú rovnicu. Pridať položku 3x na obidve snímky.

$$y+3x=60$$

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej y tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú y.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Prirátajte \frac{x}{3} ku obom stranám rovnice.

$$y=\frac{1}{3}x$$

Dosaďte \frac{x}{3} za y v druhej rovnici y+3x=60.

$$\frac{1}{3}x+3x=60$$

Prirátajte \frac{x}{3} ku 3x.

$$\frac{10}{3}x=60$$

Vydeľte obe strany rovnice hodnotou \frac{10}{3}, čo je to isté ako pri vynásobení oboch strán prevráteným zlomkom.

$$x=18$$

V rovnici y=\frac{1}{3}x dosaďte x za premennú 18. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej y vypočítať priamo.

$$y=\frac{1}{3}\times 18$$

Vynásobte číslo \frac{1}{3} číslom 18.

$$y=6$$

Systém je vyriešený.

$$y=6,x=18$$

Postup použitia matíc

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte \frac{1}{3}x z oboch strán.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Zvážte druhú rovnicu. Pridať položku 3x na obidve snímky.

$$y+3x=60$$

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 60\\\frac{3}{10}\times 60\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice y a x.

$$y=6,x=18$$

Postup použitia eliminácie

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte \frac{1}{3}x z oboch strán.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Zvážte druhú rovnicu. Pridať položku 3x na obidve snímky.

$$y+3x=60$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Odčítajte rovnicu y+3x=60 od rovnice y-\frac{1}{3}x=0 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$y-y-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Prirátajte y ku -y. Členy y a -y sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Prirátajte -\frac{x}{3} ku -3x.

$$-\frac{10}{3}x=-60$$

Vydeľte obe strany rovnice hodnotou -\frac{10}{3}, čo je to isté ako pri vynásobení oboch strán prevráteným zlomkom.

$$x=18$$

V rovnici y+3x=60 dosaďte x za premennú 18. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej y vypočítať priamo.

$$y+3\times 18=60$$

Vynásobte číslo 3 číslom 18.

$$y+54=60$$

Odčítajte hodnotu 54 od oboch strán rovnice.

$$y=6$$

Systém je vyriešený.

$$y=6,x=18$$