Vyriešiť x-y=5text{and}5y-4x=7

$$x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Riešenie pre x,y

$$x=32$$

$$y=27$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$x-y=5$$

Prirátajte y ku obom stranám rovnice.

$$x=y+5$$

Dosaďte y+5 za x v druhej rovnici -4x+5y=7.

$$-4\left(y+5\right)+5y=7$$

Vynásobte číslo -4 číslom y+5.

$$-4y-20+5y=7$$

Prirátajte -4y ku 5y.

$$y-20=7$$

Prirátajte 20 ku obom stranám rovnice.

$$y=27$$

V rovnici x=y+5 dosaďte y za premennú 27. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=27+5$$

Prirátajte 5 ku 27.

$$x=32$$

Systém je vyriešený.

$$x=32,y=27$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 5+7\\4\times 5+7\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\27\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=32,y=27$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Ak chcete, aby boli členy x a -4x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom -4 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 1.

$$-4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,-4x+5y=7$$

Zjednodušte.

$$-4x+4y=-20,-4x+5y=7$$

Odčítajte rovnicu -4x+5y=7 od rovnice -4x+4y=-20 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$-4x+4x+4y-5y=-20-7$$

Prirátajte -4x ku 4x. Členy -4x a 4x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$4y-5y=-20-7$$

Prirátajte 4y ku -5y.

$$-y=-20-7$$

Prirátajte -20 ku -7.

$$-y=-27$$

Vydeľte obe strany hodnotou -1.

$$y=27$$

V rovnici -4x+5y=7 dosaďte y za premennú 27. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$-4x+5\times 27=7$$

Vynásobte číslo 5 číslom 27.

$$-4x+135=7$$

Odčítajte hodnotu 135 od oboch strán rovnice.

$$-4x=-128$$

Vydeľte obe strany hodnotou -4.

$$x=32$$

Systém je vyriešený.

$$x=32,y=27$$